최대 우도 추정치는 모수화에 의존 할 수 있습니까?

Question

즉, 매개 변수가있는 분포가 있다고 가정합니다. $\theta$.

매개 변수로 다시 쓰면 $a$ 그런 $a^3=\theta$,에 대한 최대 가능성 추정을 수행하면 추정치를 산출 할 수 있습니까? $\hat a$ 그런 $\hat a^3 \neq \hat \theta$?

다른 기능의 경우 일 수 있습니까? $x^3$?

그렇다면 매개 변수화를 선택하기위한 몇 가지 기준은 무엇입니까?

Answer 1

MLE (Maximum Likelihood Estimators)의 불변 속성은 다음과 같이 말합니다. $\hat{\theta}$ MLE는 $\theta$, 모든 기능에 대해 $\tau(\theta)$ MLE의 $\tau(\theta)$ 이다 $\tau(\hat{\theta})$.

따라서 정의하면 $a^3=\theta$, MLE를 획득 한 후 $\theta$, $\hat{\theta}$, 당신은 제곱근을 취하여 역함수를 적용 할 수 있습니다 $\hat{\theta}$ MLE 획득 $a$ (즉 $\hat{a}=\hat{\theta}^{1\over{3}}$)

최신 정보:

코멘트에 Thomas Lumley가 언급 한 증거를 추가했습니다.

허락하다 $\hat{\eta}$ 최대화하는 값을 나타냅니다. $L^*(\eta|\textbf{x})$. 우리는$L^*(\hat{\eta}|\textbf{x})$=$L^*(\tau(\hat{\theta})|\textbf{x})$. 최대$L$ 과 $L^*$ 일치하므로 우리는

\ begin {eqnarray *} L ^ {*} (\ hat {\ eta} | \ textbf {x}) & = & \ underset {\ eta} {\ text {sup}} \ underset {\ {\ theta : \ tau (\ theta) = \ eta \}} {\ text {sup}} \, L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & \ underset {\ theta} {\ text {sup}} L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & L (\ hat {\ theta} | \ textbf {x}), \ end {eqnarray *}

첫 번째와 세 번째 평등은 다음과 같이 정의됩니다. $L^{*}$ 과 $\hat{\theta}$ 반복 최대화가 무조건 최대화와 같기 때문에 두 번째 등식이 유지됩니다. $\theta$, 획득 $\hat{\theta}$. 더욱이,

\ begin {eqnarray *} L (\ hat {\ theta} | \ textbf {x}) & = & \ underset {\ {\ theta : \ tau (\ theta) = \ tau (\ hat {\ theta}) \ }} {\ text {sup}} L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & L ^ {*} \ left [\ tau (\ hat {\ theta}) | \ textbf {x} \ 권리]. \ end {eqnarray *}

따라서 평등의 문자열은 $L^{*}(\hat{\eta}|\textbf{x})=L^{*}\left[\tau(\hat{\theta})|\textbf{x}\right]$ 그리고 그 $\tau(\hat{\theta})$ MLE는 $\tau(\theta)$. $\blacksquare$