최적의 운송에서 변위 보간의 안정성

Aug 19 2020

허락하다 $(X,d)$ 완전히 분리 가능한 메트릭 공간이어야하며 $(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$ 확률 측정의 공간 $X$2-Wasserstein 거리가 장착 된 유한 한 2 차 모멘트로. 불연속적인 측정이 내부에 밀집되어있는 것으로 알려져 있습니다.$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$ -즉, 주어진 $\mu \in \mathcal{P}_2 (X)$, 및 $\delta>0$, 하나는 이산 측정을 찾을 수 있습니다 $\mu_\delta$$W_2 (\mu, \mu_\delta)<\delta$.

이제 $\mu_0, \mu_1 \in \mathcal{P}_2 (X)$, 그리고 $\mu_t$$W_2$ 측지 연결 $\mu_0$$\mu_1$ (일명 $\mu_t$ [반드시 고유하지 않은] 변위 보간 $\mu_0$$\mu_1$). 변위 보간이 이산 근사에서 안정적입니까? 즉, 이산을 선택할 수 있습니다.$\mu_{0,n}, \mu_{1,n}$ 그런 $\mu_{t,n}$ 에 가깝다 $\mu_t$ 모든 $t\in[0,1]$?

답변

3 FrancescoNobili Aug 19 2020 at 15:09

변위 보간 $\mu_t$Wasserstein Geodesics의 고유 하지 않기 때문에 선험적 으로 수정해서는 안됩니다 . 따라서 올바른 질문은 다음과 같습니다. 근사 시퀀스 수정$(\mu_{0,n}),(\mu_{1,n})$$W_2$ 측지선 $\mu_{t,n}$이 존재하는 경우, 그리고 질문 하나를 $\mu_t$ 가까운 $\mu_{t,n}$ ...에 대한 $t \in [0,1]$.