최종 값 정리 또는 다른 기술을 사용하여 시스템의 최종 값을 계산하기 위해 초기 조건을 어떻게 고려할 수 있습니까?
안정되지 않은 초기 조건을 고려하여 다음 시스템의 최종 값을 계산하고 X가 초기 조건 값에서 변경되지 않는다고 가정합니다.
전달 함수는
$$H(z) = \frac{z^{-1} \phi / (1 - \phi z^{-1})}{1 - z^{-1} \psi / (1 - \psi z^{-1})}$$
다음 피드백 시스템에서 발생합니다.
$$Y(z)(1-z^{-1}) = z^{-1}F_{\psi}\cdot Y(z) + z^{-1}F_{\phi}\cdot X(z)$$
어디 $F_{\alpha}(z)$ 매개 변수가있는 1 차 고역 통과 필터입니다. $\alpha$ 형태의
$$F_{\alpha}(z) = \frac{\alpha (1 - z^{-1})}{1 - \alpha z^{-1}}$$
초기 조건이 휴식 일 때 시스템의 최종 값은 x의 단계에 응답합니다. $0$ ...에 $x[0]$ Final Value Theorem을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다.
$$fv = \lim_{z\rightarrow 1} z(1-z^{-1})H(z)\frac{x[0]}{1 - z^{-1}}$$
이 경우에는
$$\frac{x[0] \cdot \phi / (1 - \phi )}{1 - \psi / (1 - \psi )}$$
그러나 이것은 초기 조건이 0이 아닌 경우 시스템이 정착되는 곳이 아닙니다.
초기 조건이 0이 아닐 때 최종 값을 어떻게 해결합니까?
답변
아하! 언급 한 바와 같이 문제에는 많은 난독 화가 있으며 최종 값 정리에 대한 약간의 강조가 있습니다.
$$H(z) = \frac{z^{-1} \phi / (1 - \phi z^{-1})}{1 - z^{-1} \psi / (1 - \psi z^{-1})} \tag 0$$
좋아, 지금까지 너무 좋아.
다음 피드백 시스템에서 발생합니다.
$$Y(z)(1-z^{-1}) = z^{-1}F_{\psi}\cdot Y(z) + z^{-1}F_{\phi}\cdot X(z) \tag{1}$$
어디 $F_{\alpha}(z)$ 매개 변수가있는 1 차 고역 통과 필터입니다. $\alpha$ 형태의
$$F_{\alpha}(z) = \frac{\alpha (1 - z^{-1})}{1 - \alpha z^{-1}} \tag{2}$$
이것은 어제 나를 괴롭 혔지만 본질적인 문제를 알아 차리지 못했습니다. (2)에 설명 된 필터의 일반적인 형식은 1 차이며 지연 연산자 ($z^{-1}$) (1)의 오른쪽에 잠재적으로 두 번째 극을 추가합니다.
원래 전달 함수 (0)는 나사 형태로되어 있지만 2 차로 보입니다. 따라서 전체 문제는 그러한 비표준 방식으로 언급되어 극점 제로 취소 검사를 통해 웜을 처리합니다. 이 질문은 제어 시스템 수업의 추가 학점 문제이거나 특히 가학적인 교사의 결승전에서 10 점 만점에 10 번 문제이거나 강사가 아무도 할 수없는 숙제 세트를 믿는 경우 일상적인 문제 일 수 있습니다. 완전히 해결하십시오.
문제는 저와 다른 모든 사람들에 의해 바로 숨겨지는 극점 제로 취소가 있다는 것입니다. 그것은에서 분명의 좌측 (1)의 측면 - 손 유도체 의$y_k$ 방정식의 주제입니다.
따라서 최종 값 정리를 사용하여 설명한대로이 문제 를 해결할 수없는 이유 는 전달 함수를 사용하여 시스템을 적절하게 표현할 수 없기 때문입니다. 전달 함수 표기법 내에서 이것을 저장하는 방법이있을 수 있지만 첫 번째 단계에서 시도했지만 실패 했으므로 상태 공간에서 수행 할 것입니다.
따라서 먼저이 난독 화 된 * 문제에 대해 조명을 비 춥니 다. (2)를 (1)로 바꾸면됩니다.
$$Y(z)(1-z^{-1}) = z^{-1}\frac{\psi(1-z^{-1})}{1 - \psi z^{-1}}Y(z) + z^{-1}\frac{\phi(1-z^{-1})}{1 - \phi z^{-1}}X(z) \tag 3$$
이제 극점-영점 취소가 고통스럽게 분명해집니다. 우리는 다음과 같은 형식의 필터를 표현하고 있습니다. $1 - z^{-1}$ 왼쪽에 있지만 다음으로 나눌 때 $1 - z^{-1}$, 더 이상 방정식에 나타나지 않습니다.
오 기쁨.
따라서 이것을 피드백 루프로 끌어 내고 $z^{-1}$ ...에 $z$ 표기법, 나는 제어 시스템 사람이기 때문에) :
여기서 표기법이 조금 어색해집니다. 저를 참아주세요. (2)의 전달 함수는 상태 공간 시스템으로 실현 될 수 있습니다.$x$ 시스템 입력이 아닌 상태 변수) :
$$\begin{aligned} x_k = \alpha x_{k-1} + (\alpha - 1)u_k \\ y_k = -x_k + u_k \end{aligned} \tag 4 $$
그래서 (놀랍게도) $x_{1,k}$ 상태 벡터의 첫 번째 요소입니다. $\mathbf{x}$ 시간에 $k$이지만 시스템 입력 이 아닙니다 .$x_k$이면 합산 접합에 대한 '상단'입력은 (4) $\alpha = \phi$ 추가 지연 :
$$\begin{aligned} \begin{bmatrix}x_{1,k} \\ x_{2,k}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1,k-1} \\ x_{2,k-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\phi - 1 \\ 1\end{bmatrix} x_k \\ u_{1,k} = x_{2, k-1} - x_{1,k-1} \end{aligned} \tag 5 $$
시스템의 출력, $y_k$, 그 자체는 상태 변수 일뿐입니다 (오 기쁨-이번에는 비꼬 지 않습니다). 그러니 그냥$$y_k = x_{3, k} \tag 6$$.
피드백 경로의 필터는 다시 (4)로 설명됩니다. $\alpha = \psi$ 추가 지연 :
$$\begin{aligned} x_{4,k} = \psi x_{4,k-1} + (\psi - 1)x_{3, k} \\ u_{2,k} = x_{4,k-1} - x_{3, k-1} \end{aligned} \tag 7 $$
마지막으로 루프의 앞 부분에있는 적분기는 다음과 같습니다.
$$x_{2,k} = x_{2,k-1} + u_{1,k} - u_{2,k} \tag 8$$
이것은 4 차 시스템으로 통합됩니다.
$$\begin{aligned} \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} \phi & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \psi - 1 & \psi \end{bmatrix} \mathbf{x}_{k-1} + \begin{bmatrix}\phi - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}x_k \\ y_k = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \end{aligned} \tag 9 $$
다시 캐스팅 $\mathbf{x}_k = A \mathbf{x}_{k-1} + B\,u_k,\,y_k = C\mathbf{x}_k$, 그리고 당신은 테스트 할 수 있습니다 $A$ 과 $C$ 적어도 일부 조합의 경우 관찰 가능한지 확인하기 위해 행렬 $\phi$ 과 $\psi$(나는 확인했다). 극점-영점 취소가 있기 때문에 제어 할 수 없다고 가정 할 수 있습니다 (직접 확인할 수 있음).
관찰 가능하기 때문에 시스템을 고려할 수 있습니다. $$\mathbf{x}_k = A \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{x}_0 \delta(k)$$
주어진 어떤 것에 대한이 시스템의 응답 $\mathbf{x}_0$ 이다 $$Y(z) = C(\mathbf{I}z - A)^{-1}\mathbf{x}_0$$ 이제 각 초기 값에 대한 시스템 응답을 찾을 수 있습니다. $\mathbf{x}$ 최종 가치 정리를 사용합니다.
* 나는 그것을 찾았습니다- "난독하다"는 문자 그대로 "어둡게, 그림자에 넣다"를 의미합니다. 따라서 사물에 빛을 비추는 것은 "난독 화"의 반의어입니다.
시간을 좀 더 들여서 생각 해보니 결국 문제가 해결 된 것 같다. 나는 아직 Tim의 대답을 소화하지 못했지만 그의 접근 방식은 내가 볼 수있는 것과 다릅니다. 또한 시스템의 응답이 주어진 값에 도달 할 최종 값에 대해 닫힌 형식의 표현을 제공하는 것이 좋을 것이라고 생각했습니다.$x[-1]$ 과 $y[-1]$.
최종 값은 다음과 같습니다.
$$\bbox[#f8f1ea, 0.6em, border: 0.15em solid #fd8105]{\begin{align}y[\infty]&=\frac{\phi(1-\psi)x[-1]+y[-1]}{(1-\phi)(1-2\psi)},\quad x[-1]\neq 0,\phi\neq 0,\psi\neq 0\\ y[\infty]&=\frac{y[-1]}{1-2\psi},\quad x[-1]=0\textrm{ or }\phi=0\\y[\infty]&=y[-1]+\frac{\phi x[-1]}{1-\phi},\quad\psi=0\end{align}}\tag{1}$$
Tim의 답변과 일부 의견에서 지적했듯이 문제는 $z=1$. OP에 제공된 전달 함수는 시스템을 LTI 시스템 (즉, 초기 조건이 0 인 경우)으로 올바르게 설명하지만, 극점 제로 제거로 인해 초기 조건이 0이 아닌 경우 기본 차이 방정식을 올바르게 나타내지 않습니다.
에서 시작
$$Y(z)(1-z^{-1})=Y(z)z^{-1}\frac{\psi(1-z^{-1})}{1-\psi z^{-1}}+X(z)z^{-1}\frac{\phi(1-z^{-1})}{1-\phi z^{-1}}\tag{2}$$
우리는 0을 취소하지 않고 상응하는 차이 방정식을 유도 할 수 있습니다. $z=1$:
$$y[n]=b_1x[n-1]+b_2x[n-2]+b_3x[n-3]-\ldots\\\ldots -a_1y[n-1]-a_2y[n-2]-a_3y[n-3]\tag{3}$$
어디 계수 $b_k$ 과 $a_k$ 선택한 상수에 따라 $\phi$ 과 $\psi$.
이제 우리는 변형 할 수 있습니다 $(3)$ 다시 $\mathcal{Z}$-도메인, 일방적 사용 $\mathcal{Z}$-transform, 규칙을 통해 초기 조건을 고려합니다.
$$\begin{align}\mathcal{Z}\big\{y[n-1]\big\}=z^{-1}Y(z)+y[-1]\end{align}\tag{4}$$
이것은에 대한 표현을 제공합니다 $Y(z)$, $\mathcal{Z}$-초기 조건으로 입력 단계에서 발생하는 출력 신호의 변환 $x[-1]$ 과 $y[-1]$.
이제 최종 값 정리를 사용할 수 있습니다.
$$y[\infty]=\lim_{z\to 1}(1-z^{-1})Y(z)\tag{5}$$
계수를 표현한 후 $a_k$ 과 $b_k$ 측면에서 $\phi$ 과 $\psi$ 그리고 공약수를 취소 한 후 $(1-z^{-1})$ 분자와 분모 $(1-z^{-1})Y(z)$ 결과는 Eq. $(1)$최종 값입니다. 참고$(1)$유한 한 최종 값이 실제로 존재하는 경우에만 유효합니다. 두 고역 통과 필터가 모두 안정적이더라도 시스템이 불안정해질 수 있기 때문에 항상 그런 것은 아닙니다.
Eq를 확인하는 시스템의 여러 시뮬레이션을 실행했습니다. $(1)$. 여기에 한 가지 예를 들겠습니다.$\phi=0.8$, $\psi=0.4$, $x[-1]=1$, $y[-1]=1$. 식.$(1)$ 최종 값을 예측 $y[\infty]=37$, 이는 시뮬레이션의 결과이기도합니다.
