추측 : 다음과 같은 형태의 삼각수가 무한히 많습니까? $qp$ , 어디 $p$, $q$ 별개의 소수입니까?
무한히 많은 양의 정수가 있음을 보여줍니다. $n$ 고유 한 홀수 소인수의 수는 $n(n + 3)$ 의 배수입니다 $3$.
많은 진전이 없었고 $n= 3k$, 무한히 많은 양의 정수가 있음을 보여 주려고했습니다. $k$ 고유 한 홀수 소인수의 수는 $k(k + 1)$ 이다 $1\mod 3$.
그래서 내가 그것을 보여줄 수 있다면
무한히 많은 삼각형 숫자가 있습니다. $qp$ , 어디 $p,q$ 프라임이다
이것은 OEIS 링크를 보면 사실로 보입니다 . 첫 번째 용어는$55$, 다음 $91$ , 다음 $231$ 등등 .. 그러면 나는 끝날 것입니다.
그러나 나는 대회 문제이기 때문에 잘못된 길에 있다고 생각합니다.
미리 감사드립니다!
다음은 질문 링크입니다.
답변
콘테스트 문제를 해결하는 한 가지 방법이 있습니다. 유한 한 양의 정수만 있다고 가정합니다.$n$ 여기서 구별되는 홀수 소인수의 수는 $n(n + 3)$ 의 배수입니다 $3$. 따라서 최대 정수가 있습니다.$n_0$ 이것이 어디로 유지되므로 모두를 위해 $n \gt n_0$, 고유 한 홀수 소인수의 수 $n(n + 3)$의 배수 가 아닙니다 .$3$. 아래의 모든 정수는 다음과 같이 간주됩니다.$\gt n_0$. 다음으로 정의
$$f(i) = \text{the number of distinct prime factors } \ge 5 \text{ of } i \tag{1}\label{eq1A}$$
주목해야 할 또 하나는 소인수가 없다는 것입니다. $\ge 5$ 그룹의 정수 중 공통 $4$ 연속 정수.
당신이 한 것과 유사하게 $2$ 연속적인 정수, 말 $m(m + 1)$, 곱할 수 있습니다. $9$ 얻기 위해 $3m(3m + 3)$, 형식은 $n(n + 3)$ 와 $n = 3m$. 이것은 모든 것을 의미합니다$2$ 연속 정수 $m$ 과 $m + 1$, 이후 $f(i)$ 함수는 다음 요소를 포함하지 않습니다. $3$, 우리는
$$f(m) + f(m + 1) \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{2}\label{eq2A}$$
제곱은 고유 한 소인수 수를 변경하지 않으므로 $f(j^2) = f(j)$. 그러므로,
$$f((j^2 - 1)j^2) = f(j^2 - 1) + f(j^2) = f(j - 1) + f(j) + f(j + 1) \tag{3}\label{eq3A}$$
이것을 사용하여 $m = j^2 - 1$ \ eqref {eq2A}에서
$$f(j - 1) + f(j) + f(j + 1) \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{4}\label{eq4A}$$
선택 $n_1$ 어디 $3 \mid n_1$ 과 $f(n_1) \equiv 2 \pmod{3}$ (예 : $n_1$ 이다 $3$ 곱하기 $2$큰 소수). 다음으로, 좀 더 간단한 대수를 위해
$$d_i = f(n_1 + i), \; i \ge 0 \tag{5}\label{eq5A}$$
즉
$$d_0 \equiv 2 \pmod{3} \tag{6}\label{eq6A}$$
\ eqref {eq2A}, \ eqref {eq4A} 및 \ eqref {eq5A}를 사용하면
$$d_0 + d_1 \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{7}\label{eq7A}$$
$$d_0 + d_1 + d_2 \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{8}\label{eq8A}$$
$$d_1 + d_2 \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{9}\label{eq9A}$$
\ eqref {eq8A}에서 \ eqref {eq6A}를 사용하면 $d_1 + d_2 \not\equiv 0 \pmod{3}$. \ eqref {eq9A}와 결합하면
$$d_1 + d_2 \equiv 1 \pmod{3} \tag{10}\label{eq10A}$$
\ eqref {eq7A}에서 \ eqref {eq6A}를 사용하면 $d_1 \not\equiv 0 \pmod{3}$. 만약$d_1 \equiv 2 \pmod{3}$, 다음 $d_2 \equiv 2 \pmod{3}$. 하지만이 경우에는 \ eqref {eq8A}, \ eqref {eq9A} 및 \ eqref {eq10A}를 반복적으로 사용할 수 있으며 인덱스는 다음과 같이 증가합니다.$1$ 그것을 얻기 위해 매번 $d_i \equiv 2 \pmod{3}$ 모든 $i \ge 0$. 그러나 이것은 불가능합니다. 예를 들어$n_1 + i$값은 소수입니다. 따라서 이것은 우리가 대신에
$$d_1 \equiv 1 \pmod{3} \tag{11}\label{eq11A}$$
따라서 \ eqref {eq10A}는
$$d_2 \equiv 0 \pmod{3} \tag{12}\label{eq12A}$$
인덱스가 증가한 \ eqref {eq8A} 및 \ eqref {eq9A} 재사용 $1$ 준다
$$d_1 + d_2 + d_3 \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{13}\label{eq13A}$$
$$d_2 + d_3 \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{14}\label{eq14A}$$
\ eqref {eq13A}에서 \ eqref {eq11A}를 사용하면 $d_2 + d_3 \not\equiv 1 \pmod{3}$. \ eqref {eq14A}와 결합하면
$$d_2 + d_3 \equiv 0 \pmod{3} \tag{15}\label{eq15A}$$
\ eqref {eq15A}에서 \ eqref {eq12A}를 사용하면
$$d_3 \equiv 0 \pmod{3} \tag{16}\label{eq16A}$$
사용 $3 \mid n_1$ 와 $f(n_1(n_1 + 3))$ 준다
$$d_0 + d_3 \not\equiv 2 \pmod{3} \tag{17}\label{eq17A}$$
그러나 \ eqref {eq17A}에서 \ eqref {eq6A}를 사용하면
$$d_3 \not\equiv 0 \pmod{3} \tag{18}\label{eq18A}$$
이것은 \ eqref {eq16A}와 모순됩니다. 우리는$2$ 합동에 허용되는 경우 $d_1 \pmod{3}$ 유지하지 마십시오. 이것은 원래 가정을 의미합니다. 즉, 유한 한 수의 $n$어떤 작업이 잘못 되었습니까? 이것은 양의 정수가 무한하다는 것을 증명합니다.$n$ 여기서 구별되는 홀수 소인수의 수는 $n(n + 3)$ 의 배수입니다 $3$.
한다고 가정 $\frac{n(n + 1)}{2}$ 의 제품입니다 $2$ 여기서 소수 $n > 2$. 만약$n$ 짝수, 이것은 모두 $\frac{n}{2}$ 과 $n + 1$ 소수이고 $n$ 이상하다, 그럼 둘 다 $n$ 과 $\frac{n + 1}{2}$ 소수입니다.
그래서 우리는 무한히 많은 삼각수가 $2$ 소수가 무한히 많은 경우에만 소수 $p$ 그런 $2p + 1$ 소수이거나 무한히 많은 소수가 $p$ 그런 $2p - 1$프라임입니다. 둘 다 해결되지 않은 문제입니다.
프라임 $p$ 그런 $2p + 1$소피 제르맹 프라임 이라고도 합니다. 프라임$p$ 그런 $2p - 1$또한 프라임은 특별한 이름이 없습니다. 두 경우 모두 그러한 소수가 무한히 많은 것으로 추측되지만 알려지지 않았습니다.