추론 $H$ 식별 요소 외에 유한 순서의 요소가 없습니다.

Question

주어진 작업 $*$ 세트에 정의 $G$, 어디 $G =\{(a, b)\mid a, b \in \mathbb{Q}\}$ 와 $a$ 과 $b$ 둘 다 0이 아니라 $(a, b) * (c, d) = (ac + 3bd, ad + bc)$.

하위 집합 증명 $H = \{(a, 0)\mid a \in \mathbb{Q} \land a\neq 0\}$ 의 하위 그룹입니다. $G$. 찾기$(a, 0)^r$ ...에 대한 $r \in \mathbb{Z^+}$, 어디 $(a, 0) \in H$ 추론 $H$ 식별 요소 외에 유한 순서의 요소가 없습니다.

시도

의 정체성 요소를 찾았습니다. $G$ 같이 $(1,0)$ 를 입증하기 위해 $H$ 의 하위 그룹입니다. $G$ 나는했다 $(a,0),(b,0)\in H$ 그때 나는 증명했다 $(a,0)*(b,0)^{-1} \in H$ 그래서 $H$ 의 하위 그룹입니다. $G$

다음 부분 $(a, 0)^r=(a,0)*(a,0)*\dots*(a,0)=(a^r,0)$ 그럼,

$$(a, 0)^r=(a^r,0)=(1, 0).$$

이것은 의미 $a^r=1$ 그래서 $a$ 될 수 있습니다 $-1$ 또는 $1$

만약 $a=1$ 그때 $(1,0)$ 그것은 정체성 요소이기 때문에 무시할 수 있으므로 다른 요소가 있습니다. $(-1,0) $ 그것은 또한 유한 순서를 가지고 있지만 질문은 정체성 요소 외에 유한 순서의 요소가 없다는 것을 추론한다고합니다.

내 발걸음이 잘못 되었나요?

감사합니다!

Answer 1

당신이 맞습니다.

하위 그룹입니다.

1 단계 하위 그룹 테스트를 사용합니다 . (내가 보여줘야한다는 것을$\varnothing\neq H\subseteq G$.)

그것을 관찰하십시오 $1\in \Bbb Q$ 과 $1\neq 0$, 그래서 $(1,0)\in H$. 그 후$H\neq\varnothing$.

허락하다 $(a,0)\in H$. 그때$a\neq 0$, 그래서 $a$ 과 $0$둘 다 0은 아니지만 둘 다 합리적입니다. 그 후$(a,0)\in G$. 그 후$H\subseteq G$.

허락하다 $A=(a,0), B=(b,0)\in H$. 그때

$$\begin{align} AB^{-1}&=(a,0)*(b,0)^{-1}\\ &=(a,0)*(b^{-1}, 0)\\ &=(ab^{-1}+3(0)(0), a(0)+(0)b^{-1})\\ &=(ab^{-1}, 0), \end{align}$$

에있는 $H$ 이후 $ab^{-1}\in \Bbb Q\setminus \{0\}$ 같이 $a,b\in\Bbb Q\setminus \{0\}$.

그러므로 $(H,*)\le (G,*)$.

요소 $(-1,0)\in H$ 주문 2가 있습니다.

실제로 $r\in \Bbb Z^+$, 다음

$$\begin{align} (a,0)^r&=\underbrace{(a,0)*\dots*(a,0)}_{r\text{ times}}\\ &=(a^r, 0), \end{align}$$

의 두 번째 인수 이후 $(a,0)$ 0, 의미 $3(0)(0)=a(0)=(0)a=0$.

그러나 $a\neq 0$ 정의에 의해 $H$, 그래서 $a\in \Bbb Q$, 만약

$$(a,0)^r=(a^r,0)=e_G=(1,0),$$

그때 $a^r=1$, 의미 $a=\pm 1$ 만약 $\pm r>0$, 여부에 따라 $r$ 홀수 또는 짝수입니다.

이것은 직접 확인할 수 있습니다.

과연,

$$\begin{align} (-1,0)^2&=(-1,0)*(-1,0)\\ &=((-1)(-1)+3(0)(0), -1(0)+0(-1))\\ &=(1,0) \end{align}$$

과 $(-1,0)\in H$.