충분한 통계 찾기 $Y$ ...에 대한 $\theta$ 그런 다음 Bayes 추정량을 찾으십시오. $w(Y)$

Question

허락하다 $X_1,...,X_n$ pdf가있는 iid 무작위 샘플이어야합니다. $\theta x^{\theta-1}1(0 < x \le 1)$

충분한 통계 찾기 $Y$ ...에 대한 $\theta$ 그런 다음 Bayes 추정량을 찾으십시오. $w(Y)$ 손실 함수를 사용하여이 통계를 기반으로 $L(\theta,a) = (a-\theta)^2$ 사전 분포가 평균과 함께 지수 인 경우 $\frac{1}{\beta}$.

첫 번째 만족도 :

우도 함수는 다음과 같습니다. $\displaystyle L(\theta) = \Pi_{i = 1}^n\theta x_i^{\theta -1} = \theta^n(x_1\cdots x_n)^\theta(x_1\cdots x_n)^{-1}$ 따라서 분해 정리에 의해 우리는 $Y = (x_1\cdots x_n)^{-1}$.

Bayes 추정기 :

제곱 오차 손실의 경우 추정량 $w(Y) = \hat{\theta} = E[\theta \mid Y\,]$ 즉, 사후의 평균.

먼저 해결해야하는 사후 필요 $m(y) = \displaystyle \int_0^\infty \beta e^{-\beta \theta}y^{1-\theta}d\theta$이것은 잘 알려진 적분입니까? u-substitution으로 해결하려고했지만 어딘가에서 실수를하고 있습니다. 나는 노력하고있다$u = y^{-\theta}, du = -y^{-\theta}\log(y)d\theta$ 하지만 어떤 이유로 나는 돌보는 방법을 볼 수 없습니다 $e^{-\beta\theta}$.

계속하기 전에 이것이 올바른지 알고 싶습니다.

편집하다: $y^{-\theta} = e^{-\theta \log(y)}$ 그래서 다시 작성하십시오 $\displaystyle \beta y \int_{0^\infty}e^{-\theta(\beta + \log(y))}d\theta$ 및 설정 $u = -\theta(\beta + \log(y)) $

그럼 우리는 $\displaystyle -\frac{\beta y}{\beta + y}e^{-\theta(\beta + \log(y))} \bigg \vert_{\theta = 0}^\infty= \frac{\beta y}{\beta + y}$

이것이 잘 알려진 적분인지 여전히 알고 싶습니다.

이제 다음 단계는 $\displaystyle E[\theta \mid Y] = \int_0^\infty \theta \frac{y+\beta}{\beta y}\beta e^{-\beta \theta}\theta^ny^{1-\theta}d\theta$옳은? 그리고 이것은 우리가 찾는 추정기를 사용할 것입니다.

Answer 1

인수 분해 정리를 사용하여 $\theta$ 이다 $y=\prod_i X_i$. 이것은 기능이$g(\theta,t(\mathbf{x}))$ 통계 "t = product"를 통해서만 데이터에 의존합니다.

함수 $\frac{1}{\prod_{i}X_{i}}$ 충분한 통계가 "x 단독"의 기능이라고 잘못 식별했습니다.

그런 다음 사후는 다음과 같습니다 (힌트 : 사후를 계산할 때 의존하지 않는 수량을 버리십시오. $\theta$)

$$\pi(\theta|y) \propto e^{-\beta \theta}\theta^n y^{\theta-1}$$

$$\propto e^{-\beta \theta}\theta^n e^{(\theta-1) log y}$$

$$\propto \theta^ne^{-(\beta-logy)\theta}$$

... 우리는이 사후 감마 분포에서 즉시 인식합니다 ...

이제 적분을 분석적으로 해결하지 않고도 혼자서 문제를 해결할 수 있습니다.