circumcircle과 폴리곤의 면적 차이가 폴리곤과 incircle의 면적 차이보다 크다는 것을 증명하십시오.

Dec 06 2020

문제는 다음과 같이 동등하게 설명 될 수 있습니다.

문제 : 볼록$n$ 측면 다각형에는 외접원과 내접원이 있으며 그 면적은 $B$, 외접원과 내접원의 면적은 $A$$C$각기. 증명$2B < A+C$.

이 문제는 매우 어렵다고 생각합니다. 이것은 폴리곤의 특별한 경우, 즉 일반 폴리곤에 대한 나의 시도입니다 .

매개 변수 이름 지정 :

$R$ 다각형의 circumcircle의 반지름입니다.
$r$ 다각형 반경이어야합니다.
$n$ 다각형의 변의 수입니다. $\theta$ = $\frac{2\pi}{n}$ = 중앙에서 다각형의 측면으로 대치되는 각도.
$a$ 다각형 측면의 길이입니다.

사이의 관계 $R,r,a,\theta$ :

$R^2 = \frac{a^2}{4} + r^2$, $a = 2R*sin(\frac{\theta}{2})$$r = R*cos(\frac{\theta}{2})$

우리는 증명해야합니다 $2B < A+C$
$\Leftrightarrow \frac{2sin(\theta)}{3+cos(\theta)} < \frac{\pi}{n}$

이것은 불평등이 사실임을 보여줌으로써 확인할 수 있습니다. $n = 3 $ LHS는 RHS보다 빠르게 감소합니다.

정다각형에 사용한 방법은 모든 사람에게 적용 할 수 없습니다. 너무 많은 자유와 모호함이 있습니다. 하지만 일반화 된 폴리곤을 다룰 생각이 없습니다. 아무도 나를 도울 수 있습니까?

답변

3 dezdichado Dec 06 2020 at 01:13

실제로 간단합니다. 볼록한 모양의 둘레가$P$이면 불평등은 다음과 같습니다. $$\pi(r^2+R^2) > Pr,$$ 어디 $R$$r$각각 circumradius와 inradius입니다. 경계의 사소한 상한은 다음과 같습니다.$$P < 2\pi R$$후자는 circumcircle의 길이입니다. 그러나 이제 간단한 AM-GM으로 문제가 해결됩니다.

$$Pr < 2\pi Rr < \pi(r^2+R^2)$$