codomain이 Banach가 아니면 개방형 매핑 정리가 실패 할 수 있음

Aug 16 2020

Banach 공간의 예를 제시하십시오. $V$, 표준 공간 $W$, 경계가있는 선형 예측 맵 $T: V \to W$ 오픈 서브셋 $G \subseteq V$ 그런 $T(G)$ 열려 있지 않다 $W$.

시도 : 고려$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$$T: V \to V: f \mapsto f$. 분명히$T$ 선형 추측입니다. $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$

그래서 $\Vert T \Vert \leq 1$$T$제한됩니다. 또한, 우리는$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.

이제 우리는 $G= B_\infty(0,1)$ 열려 있지 않다 $\Vert \cdot \Vert_1$. 사실, 반대로$0$ 이다 $\Vert \cdot \Vert_1$-인테리어 포인트 $G$. 그런 다음$\epsilon > 0$ 그런

$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$

따라서 $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ 우리는 $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$

$\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ ...에 대한 $f \in C([0,1])$. 하지만 규범$\Vert \cdot \Vert_1$$\Vert \cdot \Vert_\infty$ 이는 동등합니다. $W$Banach입니다. 이것은 모순입니다.

질문 : 내 시도가 맞습니까?

답변

1 supinf Aug 17 2020 at 12:58

네, 당신의 시도가 맞습니다.

규범의 동등성은 두 불평등을 모두 요구하므로 언급하는 것이 좋습니다.

이유를 설명함으로써 개선 될 수도 있다고 생각합니다. $W$ Banach 공간이 아닙니다.