다음 기능이 Riemann Integrable임을 증명하십시오.

Aug 19 2020

허락하다 $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$에 의해 정의 될 \ 시작 {식 *} F (X) = \ 시작 {경우}, X \ 텍스트 {경우} X = \ FRAC {1} \ mathbb {N}에 \ n {대} {N} \ 텍스트 , \\ 0 & \ text {otherwise} \ end {cases} \ end {equation *} 증명$f$ Riemann Integrable입니다.

이 기능이 $f$ 셀 수없이 많은 지점에서만 불 연속적입니다. $\frac{1}{n}$, 그래서 그것은 Riemann Integrable입니다.

찾기와 관련된 절차를보고 싶습니다. $L(P,f)$$U(P,f)$ 어디 $P$ 인수 된 파티션입니다. $[0,1]$. 이 절차를 사용하여 Riemann Integrable이라는 것을 증명할 수 없습니다. 누군가 나를 도울 수 있습니까? 미리 감사드립니다.

답변

2 RRL Aug 19 2020 at 00:53

그것을 보여주는 것은 쉽습니다. $L(P,f) = 0$ 모든 파티션에 대해.

취하다 $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (어디 $n$ 큼) 및 하위 간격을 포함하는 파티션

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ 그리고 그것을 보여 $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

어떠한 것도 $\epsilon > 0$ 우리는 선택할 수 있습니다 $n$ 그런 $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ Riemann 기준이 충족됩니다.