닫힌 볼록 세트에 극단 점이없는 경우에만 선이 포함되는 이유는 무엇입니까? [복제]
허락하다 $A\subset\mathbb R^n$닫히고 볼록합니다. A 포인트$x\in A$것으로 알려져 극한 포인트 가 포인트의 사소 볼록 조합으로 표현 될 수없는 경우$A$. 허락하다$\operatorname{ext}A$ 극단의 집합을 나타냅니다 $A$.
나는 "$A$극단 점이없는 경우에만 선을 포함합니다. "(37 페이지, 발언 1, Hug and Weil (2010) , pdf는 여기 에서 찾을 수 있음 ).
나는 그것을 볼 수 있습니다 $A$ 줄을 포함 $L$, 그러면 극단적 인 점을 가질 수 없습니다. 실제로, 주어진$x\notin L$, 다음 (닫힌) 볼록 폐쇄 $\{x\}\cup L$ 사이의 모든 것과 같아야합니다 $L$ 그리고 평행선 $L$ 교차하는 $x$, 그리고 그러한 세트에는 극단 점이 없습니다. 기하학적으로 이것은 다음 구성에 해당합니다.
$\qquad\qquad\qquad$
그러나 다른 방향으로 진행하는 방법을 잘 모르겠습니다. 어떻게 증명합니까?$A$ 선이 포함되지 않은 경우 최소한 극한 지점이 있어야합니다 (또는 동등하게 극단 지점이 없다는 것은 적어도 하나의 선이 $A$)?
답변
$A$물론 비어 있지 않은 것으로 간주되어야합니다. 그런 다음 차원에서 귀납법을 사용할 수 있습니다.
에 $\mathbb{R}^1$, 비어 있지 않은 닫힌 볼록 세트 $A$ 줄이 포함되지 않은 경우 다음 형식 중 하나가 있습니다. $(-\infty, a]$, $[a, +\infty)$, 또는 $[a,b]$ (와 $a \leqslant b$) 및 이들 모두 $a$ 극단적 인 지점입니다 $A$.
유도 단계를 위해 $x \in A$ 임의의 줄을 고려하십시오. $L$ 통과 $x$. 이후$L \not\subset A$ 요점이있다 $y \in L\setminus A$. 허락하다$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$ 과 $z = x + s(y-x)$. 그런 다음 지원하는 초평면이 있습니다.$A$ 통과 $z$. 이것은$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$ 일부 $\eta \in \mathbb{R}^n$ 와 $\langle \eta, \eta\rangle = 1$. 일반성을 잃지 않고 우리는$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$ 모든 $\xi \in A$.
지금 $A_H = A \cap H$ 초평면에 설정된 닫힌 볼록입니다. $H$ (우리는 $\mathbb{R}^{n-1}$) 줄이없고 비어 있지 않습니다 (for $z \in A_H$). 귀납 가설에 따르면$A_H$극단적 인 점이 있습니다. 그러나 극단적 인 포인트$A_H$ 또한 극단적 인 지점입니다 $A$, 포인트 인 경우 $p$ 의 $A_H$ 두 점의 볼록한 조합으로 표현됩니다. $A$,이 두 점은 모두 $A_H$. 그러므로$A$ 극단적 인 점이 있습니다.
다음 은 다른 답변에 대한 약간의 변경 입니다.
나는 닫혀 있고 볼록하고 비어 있지 않다는 것을 증명하고 싶습니다. $A\subset\mathbb R^n$ 선이없고 항상 최소한 극단 점을 포함합니다.
그만큼 $\mathbb R^1$ 케이스는 사소합니다. $A$ 유한 폐쇄 간격 또는 형태의 무한 세그먼트 $[a,\infty)$ 과 $(-\infty,a]$. 그러므로 그 진술이 다음에 대해 참이라고 가정합시다.$A\subset\mathbb R^{n-1}$.
허락하다 $x\in A$ 임의의 지점이고 $L$ 선이 지나가 다 $x$. 그러므로$x\in L$, 그리고 가설 $L\not\subset A$. 그런 다음 몇 가지가있을 것입니다$y\in L\setminus A$. 그럼$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ 경계에있는 요소 $A$, 허락하다 $H$ 지원하는 초평면 $A$ 통과 $z$, 그리고 세트를 고려하십시오 $A_H\equiv A\cap H$. 다음은이 구조의 표현입니다.$\mathbb R^2$:
이 간단한 경우에는 $H$ 라인이어야하므로 $A_H\subset\mathbb R^1$ 귀납 가설에 따라 극단 점을 포함합니다 (이 특별한 경우 $A_H=\{z\}$). 더 일반적으로,$A_H$ 닫히고 볼록하며 비어 있지 않은 $\mathbb R^{n-1}$, 따라서 극단 점을 포함합니다.
이제는 $A_H$ 또한 $A$. 즉, 우리는$p\in A_H$ 그때 $p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. 목적을 위해 우리는$A_H$ 사이의 교차로 정의됩니다 $A$ 그리고 초평면이 있습니다. $\eta\in\mathbb R^n$ 과 $\alpha\in\mathbb R$ 그렇게 정의 $f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, 우리는 $f(\xi)\le \alpha$ 모든 $\xi\in A$, 및 $f(\xi)=\alpha$ 모든 $\xi\in A_H$.
하지만 만약 $p\in A_H$ 요소의 볼록한 조합이었다 $A$, $p=\sum_k \lambda_k a_k$ 와 $a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, 다음 $$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ 다음 경우에만 가능합니다. $f(a_k)=\alpha$ 모든 $k$, 즉 경우$a_k\in A_H$.