닫힌 형식의 표현이 있습니까? $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Question

나는 묻고 싶다 $|x|<1$, 우리는 제품을 표현해서 좋습니다 $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ 함수로서 $f(x)$. Weierstrass factorization 정리를 사용하려고했지만 성공하지 못했습니다.

참조 또는 솔루션을 정말 감사하겠습니다.

Answer 1

이미 코멘트에서 알 수 있듯이 표현은 무한 제품에서 얻을 수 있습니다. $\Gamma$( Euler의 것 또는 Weierstrass의 것) :$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ 그리고 "대수" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, 기부 $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$이것은 여기에 설명 된대로보다 일반적인 "합리적 무한 제품"에 쉽게 적용됩니다 .

Answer 2

논평:

이 제품의 경계는 Weierstrassn 부등식에서 찾을 수 있습니다.

만약 $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ 1보다 작은 실수 양의 정수이고 :

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

그때:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

우리가 할 수있는 곳 :

$a_n=\frac x {n^3}$