대칭 시스템의 제품 강제
강제 개념의 가족이 주어지면 $(P_i)_{i\in I}$ 우리는 제품을 가져갈 수 있습니다 $P:=\prod_{i\in I}P_i$ 형식의 일반 필터를 만들도록 강제하는 개념으로 $G=(G_i)_{i\in I}$ 각각에 대해 $i\in I$ 투영 $G_i$ 강제 할 때 생성 된 일반 필터에 해당합니다. $P_i$. 이를 제품 강제라고하며 여러 유형의 일반 객체를 한 번에 연결할 수 있습니다. (주제에 대한 자세한 내용은 제품 강제 및 일반 객체를 참조하십시오. )
이제 내 질문은 제품 강제력이 대칭 강제력과 결합 될 수 있는지 여부와 방법입니다. 위와 같은 강제 개념의 가족과 그룹의 가족이 있다고 가정합니다.$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ 만큼 잘 $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ 그런 $\mathcal{G}_i$ 의 하위 그룹입니다. $Aut(P_i)$ 과 $\mathcal{F}_i$ 일반 필터입니다. $\mathcal{G}_i$ 모든 $i\in I$. 정의 할 수 있을까요$P$ 위와 같이 $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ 행동 $P$ 구성 요소 및 $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ 일반 필터로 $\mathcal{G}$ ?
예를 들어 Cohen의 원래 대칭 모델을 고려하십시오. $ZF+\neg AC$ 그는 셀 수없이 많은 일반 실수를 접한 다음 무한 하위 집합을 구성합니다. $A\subset \mathbb{R}$셀 수없이 무한한 부분 집합없이. 그런 다음 위에서 설명한 구성은 우리가$I$ 그러한 많은 세트 $(A_i)_{i\in I}$ 한 번에.
이러한 유형의 구성 (즉, 대칭 제품 강제)에서 발생할 수있는 합병증이 있습니까? 주제에 대한 문헌이 있습니까?
답변
예, 문헌에 많은 것이 있습니다. "추상 프레임 워크"의 방식은 거의 없습니다. 이것은 본질적으로 강제력의 초창기부터 수행 된 일이며, 초기 논문에서 그 증거를 찾을 수 있습니다.
내 작품에서
Karagila, Asaf , 반복 대칭 확장 , J. Symb. 로그. 84, No. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , The Morris 모델 , Proc. 오전. 수학. Soc. 148, No. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
보다 일반적인 치료법을 찾을 수 있습니다. 제품은 반복의 특정 사례이며 첫 번째 논문에서는 지원이 유한 한 경우를 다룹니다. 그러나 제품의 경우 임의의 지원에 대한 반복을 일반화하는 데 어려움을 겪지 않을 수 있으며 일부 작업은 두 번째 논문에서 수행됩니다.
여러 곳에서 "손으로"정의 된 제품을 볼 수있을뿐만 아니라 정의가 모든 종류의 대칭 시스템에 적용된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 (그러나 제품은 일반적으로 Cohen 스타일 강제로 사용됨). 다음은 주로이 주제를 자주 다루었던 내 작업에서 나온 몇 가지 최근 예와 이전 예입니다.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spectra of uniformity. , Commentat. 수학. 대학 축가. 60, No. 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam 을 사용하여 추기경에 주문 포함 . 수학. 226, No. 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , Fodor의 기본형 은 모든 곳 에서 실패 할 수 있습니다 . Acta Math. 매달렸다. 154, No. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Dedekind-finite 세트에 관한 Independence 결과 , J. Aust. 수학. Soc., Ser. A 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , 짝을 이룰 수없는 적절한 추기경 , Colloq. 수학. 58, No. 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
이 모든 것 사이에 유한 한지지, 셀 수있는 (또는 $\kappa$-) 지원, Easton 지원, 그리고 다른 모든 것으로 도약하는 것을 볼 수 있습니다 (이제는 다른 종류의 혼합 지원이 실제로 동일합니다).
사실, 우리는 필터와 그룹의 제품에서 지원을 변경하는 것에 대해 이야기 할 수 있기 때문에 이제 더 많은 힘을 가지고 있습니다. 이것은 우리가 훨씬 더 많은 것을 말할 수 있다는 것을 의미한다고 생각할 것입니다. 그러나 실제로는 일반적으로 관련이 없습니다.
반복에 대한 내 논문에서 "강인함"이라는 개념을 설명했습니다. 박사 과정이 끝날 무렵 내가 Yair Hayut와 함께했던 많은 토론 중 하나에서 우리는 그 개념 아래에 실제로 무엇이 있는지 알아 내기로 결정했습니다. 그리고 모든 대칭 시스템은 끈기있는 시스템과 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 다른 지원 (예 : 강제로 Easton을 사용하는 동안 필터에 대한 유한 지원)을 사용하는 것은 일반적으로 사용중인 가장 작은 지원과 동일합니다. 항상 그런 것은 아니지만 일반적으로.
Cohen 모델의 경우 약간 까다 롭습니다. 각 제네릭은 진짜이며, 우리는 그것들에 관심을 가질 뿐만 아니라 모든 제네릭 세트 에 대해서도 관심이 있습니다. 따라서 이것은 실제로 제품이 아니라 각 실제를 추가하는 반복이며 모든 실제 세트를 추가하지 않고 올바른 순서없이 제네릭 세트를 추가하도록 강요하여 선택을 위반합니다. 이 모든 것이 단일 확장으로 생각하는 접근 방식을 훨씬 간단하게 만듭니다.