다항식 고리 R [x]에서 f (x)에 의한 g (x)의 몫과 나머지의 고유성은 왜 g (x) + (f (x)) = r (x) + (f (x))를 다음과 같이 의미합니까? R [x]에서 (f (x))의 cosets?

Question

나는 대수학 장을 읽고있다 $0$ by Aluffi와 저는 다음을 이해하기 위해 고군분투하고 있습니다.

먼저 저자는 기본형을 증명합니다.

허락하다 $f(x)$ 일원적 다항식이고 $$f(x)q_1(x)+r_1(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)$$ 둘다 $r_1(x)$ 과 $r_2(x)$ 차수의 다항식 $< \deg f(x)$. 그때$q_1(x) = q2(x)$ 과 $r_1(x) = r_2(x).$

그런 다음이 기본형을 다음과 같이 요약 할 수 있다고 주장합니다.

그런 다음 $R$교환 링입니다. 만약$f(x)$ 그럼 모닉입니다 $g(x)\in R$ 고유 한 다항식이 있습니다. $r(x)$ 정도 $<\deg f(x)$ 그리고 그런 $$g(x)+(f(x))=r(x)+(f(x))$$ 주요 이상의 집합체로 $(f(x))$ 에 $R[x]$.

후자의 진술이 기본형에서 나온다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?

감사

Answer 1

$f(x)q_1(x)+r_1(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)\implies r_1(x)-r_2(x)=f(x)(q_2(x)-q_1(x))\implies $ 정도 $r_1(x)-r_2(x)$ 정도와 같거나 $f(x)$ 정도 $r_1(x) $ 다음보다 작습니다. $f(x) $ 또는 $r_1(x)=0$. 유사하게$r_2$.
그래서 우리는$r_1(x)-r_2(x)=0$ 위의 평등에 의해 다음과 같습니다. $q_1(x)=q_2(x)$