다중 조건화를 사용한 조건부 기대

Question

모든 RVS $X$ 과 $Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

그러나 나는 이것을 증명할 수 없을 것 같습니다. 나는 추가 조건으로 아담의 법칙을 사용해 보았습니다 ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) 그러나 나는 그것으로 아무데도 가지 않는 것 같습니다.

내가 시도한 것은 다음과 같습니다.

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ 이벤트 이후 $X$ 일어 났고 $g(X)$ 발생은 동등하며 둘 다에 대한 조건 $X$ 과 $g(X)$하나만 컨디셔닝하는 것과 같습니다. 이것에 대한 직관적 인 해석이 있습니까?

이것은 또한 컨디셔닝을 의미합니까 $X$ 또는 모든 기능 $g$ 의 $X$ 는 ~와 마찬가지로 ?

Answer 1

이것은 조건부 기대의 타워 속성의 특별한 경우입니다. $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ 그때 $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ 두 번째 평등을 사용하십시오. $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ 과 $\mathcal F_2=\sigma(X)$.

Answer 2

당신이 이미 가지고있는 주장은 매우 좋은 비 측정 이론의 주장입니다. 아래에서 공식화하겠습니다. 세부 사항에 대한 확신을주는 데 도움이 될 수 있습니다.

인수 구조 사용 : Let $g(X)=E[Y|X]$. 그때\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}(a) 반복 된 기대의 법칙을 사용하는 경우 (버스를$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) 용도$E[Z|Z]=Z$ 임의의 변수에 대해 $Z$. $\Box$

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(b) 단계는 다음과 같습니다. $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ 이것은 직관적으로 우리가 이미 알고 있다면 $X$, 추가 정보 $g(X)$ 새로운 것을 추가하지 않습니다.

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노트:

• 컨디셔닝 $X$ 일반적으로 컨디셔닝과 동일하지 않습니다. $g(X)$,하지만이 특정 문제에서 작동합니다.

• 귀하의 답변에 대한 첫 번째 의견의 줄을 따라 측정 이론 유도가 제공 될 수 있습니다. 정당화 할 수도 있습니다.$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ 보다 공식적으로는 측정 이론 ( "에 의해 생성 된 시그마 대수 $(g(X),X)$ 에 의해 생성 된 시그마 대수와 동일합니다. $X$").

• 공식적인 측정 이론 정의는 조건부 기대의 "버전"에 대해 이야기하며,이 답변에서 자세히 설명하지 않습니다 (어떤 사람들은 내 평등을 "확률 1"을 유지하는 평등으로 대체 할 수 있습니다).