덧셈의 삼분 법칙 증명 $\mathbb{N}$ (Peano Axioms).
덧셈의 삼분법 증명에 도움이 필요합니다. $\mathbb{N}$(Peano Axioms). 나는 덧셈이 연관적이고 교환 적이라는 것을 이미 증명했습니다. 또한 취소 법과 유용한 보조제를 증명했습니다. 이제 다음 제안을 증명하는 데 문제가 있습니다.
허락하다 $m,n \in \mathbb{N}$. 그러면 다음 진술 중 정확히 하나가 참입니다.
- $m=n$
- 자연수가있다 $p \neq 0$ 그런 $ m = n + p$.
- 자연수가있다 $q \neq 0 $ 그런 $n = m + q$.
내 시도
첫째,이 두 가지 진술이 동시에 발생할 수 없음을 증명했습니다.
만약 $1), 2)$ 사실이라면 $m=m+p$ 취소 법에 따라 $p=0$, 모순. 이것은 다음과 유사합니다.$1),3)$. 그런 다음$2),3)$. 그때,$m = m + q + p$, 취소 법에 따라 $ 0 = q + p \implies q=p=0$, 모순입니다 (이전에이 마지막 진술을 증명했습니다). 그러면 하나 이상의 진술이 참일 수 없습니다.
이제 적어도 $1$진술의 내용이 증명을 마치기 위해 사실이지만 어떻게 진행해야할지 모르겠습니다. 나는 이것이 기본 / 고전적인 질문이라는 것을 알고 있지만 MSE에서 이것에 대한 게시물을 찾지 못했습니다. 이러한 게시물이 있으면 알려 주시고 다시 게시하여 죄송합니다.
모든 힌트를 주시면 감사하겠습니다.
답변
먼저 모두를 위해 $n, m$, 또는 $\exists p (n + p = m)$ 또는 $\exists p (m + p = m)$. 우리는 다음에 대한 유도로 진행합니다.$m$.
기본 케이스 $m = 0$: 다음 우리는 $m + n = 0 + n = n + 0 = n$.
유도 케이스 $m = S(k)$: 귀납적 가설과 모든 숫자가 후속 또는 0이라는 사실을 기반으로 세 가지 하위 사례로 나뉩니다.
하위 사례 $k + p = n$ 어디 $p = S(p')$: 다음 우리는 $n = k + S(p') = S(k + p') = S(p' + k) = p' + S(k) = p' + m = m + p'$.
하위 사례 $k + p = n$ 어디 $p = 0$: 그때 $k + 0 = k = n$. 그때$m = S(k) = S(n)$. 그때$m = S(n + 0) = n + S(0)$.
하위 사례 $n + p = k$: 그때 $n + S(p) = S(n + p) = m$.
따라서 우리는 모든 $n$, $m$, 또는 $\exists p (n + p = m)$ 또는 $\exists p (m + p = n)$.
이제 우리는 $n, m$, 우리는 $n = m$, $\exists p (n + S(p) = m)$, 및 $\exists p (m + S(p) = n)$.
이제 WLOG가 $\exists p (n + p = m)$. 우리는 두 가지 사례로 나뉩니다. 첫째로,$p = 0$. 그런 다음 우리는$n = m$. 둘째, 다음과 같이 쓸 수 있다고 가정합니다.$p = S(p')$. 그런 다음 우리는$n + S(p') = m$. 경우$\exists p (m + p = n)$ 유사하다.
분명히 이것은 삼분법의 옵션 중 적어도 하나가 유지된다는 것을 보여주기에 충분합니다.