덧셈과 곱셈의 공리로 인한 결과 증명을 도와줍니다.

Question

Vladimir A. Zorich의 분석 1을 읽으면서 나는 이해할 수없는 1 단계가있는이 증명을 발견했습니다. 결과와 증거는 다음과 같습니다.

모든 $x\in \mathbb R$ 다음은 사실입니다

$$-x=(-1)\cdot x$$

증명. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. 이 가정은 숫자의 음수의 고유성에서 비롯됩니다.

증명의 끝.

underbraced 부분은 내가 이해하지 못하는 부분입니다. 그 표현을 만들기 위해 어떤 덧셈과 곱셈 공리가 사용 되었습니까?

Answer 1

참고 $1\in\Bbb{R}$ 속성을 가진 세트의 특수 요소입니다. $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. 다음으로, 우리는 또한 모두를 위해 분배 법칙을 사용합니다$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. 따라서 \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {property of$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {distributive law} \ end {align} 나머지 증명은 모든$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.

Answer 2

원칙은 배포입니다. $a(b+c) = ab + ac$.

따라서 증거는 다음과 같습니다.

$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (곱셈 적 정체성의 존재와 정의에 의해)

$=(1+(-1))\cdot x$ (배포 별)

$=0\cdot x$ (가산 역의 정의에 따라)

$=x\cdot 0$ (곱셈의 교환 성이지만 그가 이것을 한 이유를 모르겠습니다)

$= 0$(이다 하지 공리하지만 명제는 것을 입증 할 수있다$0\cdot x = 0$. 아직 증명 하셨나요? Spivak은 그것을 공리로 사용합니까?)

그런 다음 정의에 따라 우리는 $x$ 독특한 존재 $-(x)$ 그래서 $x + (-x) = 0$.

만약 우리가 $a$ 그래서 $x + a = 0$ 그것은 틀림 없다 $a=-x$곱셈 역이 고유하기 때문입니다. 같이$x + (-1)x =0$ 그것은 틀림 없다 $(-1)x = -x$.

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소품: $x\cdot 0 = 0$.

Pf : $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (모든 요소$a$, 포함 $x\cdot 0$, 덧셈 역이 있습니다. $-a$, 그래서 $a + (-a) =0$.)

$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ 때문에 $0$ 가산 적 정체성이고 $a +0 = a$ 모든 $a$,시기 포함 $a$ 이다 $0$.)

$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (분포 성)

$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (연관성)

$x\cdot 0 + 0 = 0$ (부가 적 정체성의 정의)

$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ 모든 $a$ 가산 적 정체성의 정의로.)