DFT의 N을 포인트 수 대 간격 수로 해석
"N"은 DFT 또는 주어진 시퀀스의 데이터 포인트의 수 또는 즉 시퀀스의 길이로 이해됩니다. 우리는 최근 에 DFT의 인덱싱 (오래된 논문에서) 과 누군가의 오래된 질문에 대해 논의 했습니다. 유한 길이 이산 시퀀스의 시간 기간을 어떻게 측정합니까? . DFT의 인기있는 기호 버전 중 하나는
$$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
누군가가 총 시간이나 샘플링 속도를 알려주지 않고 N = 11 포인트 로 구성된 시퀀스를 제공한다고 가정합니다 . MATLAB에서 DFT를 적용하면 출력은 11 점입니다.
표기법 문제 는 시간 간격을 결정할 때 시작됩니다.$\Delta$t 및 주파수 단계 $\frac{1}{N\Delta t}$ 때 $\Delta$t가 드러납니다.
a) 샘플링 빈도를 결정하려면 1 초 내에 수집 된 (N-1) 포인트입니다. 마지막 포인트는 다음주기에 속합니다 . 올바른 샘플링 속도는 11이 아닌 10Hz입니다.
b) 주파수 분해능은 $\frac{1}{N\Delta t}$. 정확한 주파수 단계 를 얻으 려면$\frac{1}{10(0.1)}$ 아니 $\frac{1}{11(0.1)}$.
따라서 주파수 분해능은 N = 11을 받아들이면 $$\frac{1}{(N-1)\Delta t}$$ 그러나 아무도이 공식을 보여주지 않습니다.
N을 두 가지 방법으로 사용하는 것 같습니다
- N : 시퀀스 길이
- N은 정확한 결과를 얻기 위해 실제로 N보다 하나 적은 주파수 단계를 결정해야 할 때입니다.
존경받는 동료는 N을 포인트 수가 아닌 간격 수로 해석해야한다고 말합니다. 이것은 N을 시퀀스의 포인트 수로 정의하는 것과 일치하지 않습니다. 불행히도 N이 간격의 수라는 참조를 찾을 수 없습니다.
이를 일관성있게 만들 수있는 방법은 무엇입니까?
감사.
답변
아니 아니 아니 아니 아니야! 여기에 오해가 있습니다!
FREQUENCY RESOLUTION은 DFT BIN FREQUENCY SPACING과 동일하지 않습니다.
이를 확인하기 위해 정교한 분석이 필요하지 않습니다. 다음 그래프에서 7 포인트 시퀀스 x [n]의 7 포인트 DFT를 플로팅했습니다. DFT는 주기적이므로 2주기 반을 플로팅했습니다.
그래픽 자체가 말하듯이 각 DFT 샘플 (일명 DFT 빈) 사이의 간격은 다음과 같이 지정됩니다.
$$ \Delta_\omega = \frac{2\pi}{N} \tag{1}$$
어디 $N = 7$ DFT의 샘플 수입니다. $X[k]$.
그게 다야. 이 값은 각 DFT 샘플 사이의 이산 시간 주파수 (샘플 당 라디안) 간격입니다. 다양한 인터넷 커뮤니티 에서 DFT 주파수 해상도 라고 잘못 불렀습니다 .
Hertz에서 샘플 사이의 연속 시간 (아날로그) 간격은 동일한 공식을 사용하여 계산되며 샘플이 $X[0]$ 과 $X[7]$ (청록색으로 표시된 다음 기간의 첫 번째 샘플)은 다음으로 구분됩니다. $F_s$ Hz 간격 (샘플링 작업의 결과) :
$$ \Delta_f = \frac{F_s}{N} \tag{2}$$
기간으로 방정식 2를 작성하십시오. $T_s = 1/F_s$ 당신은 얻는다 :
$$ \Delta_f = \frac{1}{N \cdot T_s} = \frac{1}{ \Delta t} \tag{3}$$
그리고 이것은 "주파수 분해능"이라고 잘못 부르는 공식입니다. 아니에요. Hertz 단위의 DFT 빈 주파수 간격입니다. 그리고 그 가치$\Delta t$시퀀스의 지속 시간에 관한 것이 아니라 대수의 결과 일뿐입니다. 네 기간$N$ 샘플도 $(N-1)\cdot T_s$; 따라서 그들은 비슷한 양입니다. 이것이 시퀀스의 지속 시간을 사용하여 DFT 빈 주파수 간격에 대한 지름길을 얻을 수있는 이유입니다.
핵심은 DFT가 말하는 것과 우리가 찾는 것을 이해하는 것 입니다. 우리가 변화하는 코사인을 고려하십시오.$f \text[Hz]$, $N$, 및 $t$ DFT에 미치는 영향을 관찰합니다.
- [1] : DFT는 "분석 프레임"(즉, 우리가 공급하는 것)에서 1 사이클을 "보므로"$k=1$, 예상대로.
- [1]-[2] : 시간 을 변경하지 않고 두 배로 늘 립니다.$f$ 또는 $N$; DFT는 이것을 분석 프레임에 걸친 두 주기로 간주 하므로$k=2$.
- [1]-[3] : 변경하지 않고 물리적 주파수 를 두 배로 늘 립니다.$N$ 또는 $t$; DFT는 이것을 프레임에 걸친 두 사이클로 간주합니다.
- [1] ~ [4] : 샘플 수를 두 배로 늘 립니다 .$N$, 변경하지 않고 $f$ 또는 $t$; DFT는 이것을 프레임에 걸쳐 여전히 1 사이클로 간주합니다. 빈 위치 ,$k$, 변경되지 않지만 (정규화되지 않은) 상관 강도가 두 배가됩니다 (여기서는 관련 없음).
- [4] ~ [5] : 이제 기간 도 두 배로 늘려 분석 프레임에서 두 사이클을 생성합니다.
패턴이 보일 것입니다. 더 이상 읽지 않고 다음과 같은 관계를 설정하십시오.$k$, $N$, $t$, 및 $f$. 힌트 : 단위 .
거래는 다음과 같습니다. DFT는 Hz 또는 물리적 주파수가 무엇인지 전혀 모릅니다 . 아는 것은 분석 프레임에 걸친 샘플 과 주기 뿐입니다. 에 [1] 의 "DFT 주파수가"
$$ f_{\text{DFT}} = \frac{k}{N} = \frac{1 \text{ cycle}}{10 \text{ samples}} = .1 \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{samples}} \right] $$
[2] = [3] = 2 사이클 / 10 개 샘플, [4] = 1 사이클 / 20 개 샘플, [5] = 2 사이클 / 20 개 샘플. 이제 우리가 알고있는 물리적 주파수에 대해 알아 봅시다 .$f_p$그리고 DFT 주파수를 연결합니다. 에서는 [2] , DFT 말한다$k=2$,하지만 우리는 $f_p = 1$. ([1]-[5]에는 표시되지 않음)$f_p=2$ 과 $k=1$. 변환하는 방법?
통합 관계는 다음과 같습니다.
\begin{align} f_p \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{second}} \right] & = \left( f_{\text{DFT}} \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{samples}} \right] \right) \cdot \left( f_s \left[ \frac{\text{samples}}{\text{second}} \right] \right) \end{align}
따라서 [2]의 경우 :
$$ f_{\text{DFT}} \cdot f_s = \left( \frac{2 \text{ cycles}}{10 \text{ samples}} \right) \cdot \left( \frac{10 \text{ samples}}{2 \text{ seconds}} \right) = 1 \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{second}} \right] = 1\ \text{Hz} = f_p $$
그러나 결정하는 방법 $f_s$?
간단히 정의하면 샘플링 기간의 역수입니다. $\Delta t$, 위의 모든 것을 일관되게 만듭니다. 그러나 "샘플링 빈도"가 "샘플 수 / 총 기간"및 "총 기간"으로 정의되어 있는지 확인해야합니다.
$$ [0, .1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9]\ \text{sec} $$
분명히 $0.9\ \text{sec}$, 그렇지 않습니다 $f_s$ 사실은 $.9 / 10 = 0.9\ \text{Hz}$? 아니오 ; 기간은 실제로 1 초입니다. 그 이유는 다음과 같습니다.$0.9\ \text{sec}$여기에 실제로는 완전히 다른 기간이 있습니다. 즉, "신호의 지속 시간은 얼마입니까?" 두 가지 질문을 할 수 있습니다.
- 위해 얼마나 우리가 샘플링 된?
- 신호에 얼마나 많은 시간의 정보 가 포함되어 있습니까?
전자에 대한 대답은 $0.9\ \text{sec}$, 그러나 후자는 $1\ \text{sec}$. 이전을 통해 계산$(N-1)\Delta t$, 후자를 통해 $N \Delta $, 그리고 # 2에 대해 0.9를 고집한다면, 우리는 하나의 샘플 이 시간을 나타내는 정보를 가지고 있지 않다는 것을 의미 합니다. 이는 모든 신호의 지속 시간이 0 임을 의미 합니다 .
여기 에 예를 들어 설명 하겠습니다 . 요컨대, 최종 목표는 정보 를 얻는 데 사용되는 프로세스가 아니라 정보에 대한 설명입니다 .
그래서 주파수 해상도는 무엇입니까 (DFT 빈 간격이 아님)${}^{1}$?
DFT 빈 사이의 간격으로 정의됩니다. $df$; 답은 선택한 단위에 따라 다릅니다. Hertz의 경우 위의 모든 항목에 대해
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} \tag{1} $$
의미, [2] ,$k=1$ 에 해당 $f_p = 0.5\ \text{Hz}$, $k=2$ 에 해당 $f_p = 1\ \text{Hz}$, 등등. 또는 다음을 통해 기간 정의를 고집하는 경우$(N-1)$, 그러면 당 $(N-1)$헤르츠 단위이지만 DFT 주파수는 아닙니다 . 후자는 모호하지 않습니다 .
$$ k=1 \rightarrow \frac{1\ \text{cycle}}{N\ \text{samples}} = \frac{1}{N} \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{sample}} \right] $$
다시 DFT 주파수 분해능과 물리적으로 변환 할 수 있습니다 . 복용 [2] ,$\text{Duration} / N = 2 \text{ sec} / 10 = .2 \text{ sec}$, 그래서 빈 간격은
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} = .5\ \text{Hz} $$
간격은 변경 될 수 있지만 재정 의하여 $\Delta t$ 변화보다는 $N$ ...에 $(N - 1)$ 에 $(1)$. 우리가$\text{Duration} = 1.8\ \text{sec}$; 그때,$\Delta t = 0.18\ \text{sec}$, 및
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} = 0.\bar{5}\ \text{Hz} $$
따라서 [2] 에서$k=1$ 에 해당 $0.56\ \text{Hz}$, 및 $k=2$ 에 해당 $1.1\ \text{Hz}$, 이는 1.8 초 = 1.1Hz에서 2 사이클 완료에 동의합니다.
구체적인 예 :$N=11$, $\Delta t = 0.1\ \text{sec}$:
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} = \frac{1}{11 \cdot 0.1\ \text{sec}} = 0.909\ \text{Hz} $$
그래서 $k=1$ 에 해당 $0.909\ \text{Hz}$, 분석 프레임에 다음 주기 의 샘플을 포함했기 때문에 1Hz가 아닙니다 .
1 : 참고 :$df$이다 DFT 빈 공간 이 아니라 "주파수 해상도". DFT는 완벽한 주파수 분해능을 가지며 시간 분해능이 없습니다 . 그러나 연속 시간 주파수의 차별로 정의하면 해상도와 빈 간격이 반비례합니다 (더 적은 간격-> 더 많은 빈-> 더 세분화 된 해상도). 이것은 자체 주제이므로 자세히 설명하지 않고 자유롭게 새로운 q를 열 수 있습니다.
이산 신호가주기의 시퀀스라는 개념을 실제로 놓아야합니다. 그렇지 않습니다. 일련의 숫자입니다. 그 이상도 이하도 아닙니다.
표기법 문제는 시간 간격을 결정할 때 시작됩니다. $\Delta t$
바로 그거죠. 그것은 이산 신호의 속성이 아니기 때문입니다.
a) 샘플링 빈도를 결정하려면 1 초 내에 수집되는 (N-1) 포인트입니다.
잘못된 것 같습니다. 첫 번째 요점을 모으려면 이미 신호가 있어야했습니다. 신호가 샘플이 설명하는 값인 "갑자기"인 경우 신호는 대역 제한이 아니므로 샘플링이 의미가 없으며 샘플은 연속 시간 신호가 임의로 변경 될 수 있으므로 의미가 없습니다.
그래서, 대체로 내가 쓴 것과 똑같 습니다. 유한 길이 이산 시퀀스의 지속 시간 을 어떻게 측정합니까? 그리고 OverLord의 질문은 다음과 같습니다.
일련의 숫자에 속성 "기간"을 할당하지 마십시오. 일련의 숫자 일뿐입니다. 시간 연속 신호를 나타내는 이러한 숫자의 개념을 추가하자마자 이것이 대역 제한이어야하므로 유한 지속 시간을 가질 수 없다는 점을 고려해야합니다. 주파수에 대해 무언가를 "측정"하는 도구로서 DFT의 맥락에서, DFT 스펙트럼 추정 은 신호가 샘플링 순간에서주기적인 DFT 길이 인 경우 관찰 된 대역폭에 대한 연속 시간 푸리에 변환 에만 동의합니다. 그리고 의심의 여지가 없습니다. 프레임은$N\Delta t$ 길고 다른 길이는 작동하지 않습니다.