Dirac인가 $\delta$-기능이 반드시 대칭인가?
디락 $\delta$-함수는 다음 제약 조건을 충족하는 분포로 정의됩니다.
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
일부 저자는 또한 Dirac이 $\delta$-기능은 대칭입니다. $\delta(x)=\delta(-x)$
이제 제 질문은 Dirac이 $\delta$-기능이 대칭입니까 아니면 다른 제약 조건에서 자동으로 발생합니까?
내 쿼리를 명확하게 설명하기 위해 다음과 같은 함수를 정의 할 것입니다. $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ 어디 ${\rm rect}(x)$ 다음과 같이 정의됩니다. $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ 확실히 대칭은 아니지만 다음 조건을 충족합니다. $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
이제 제 질문은 $ξ(t)$ Dirac Delta 기능 으로요?
답변
"델타 함수"는 함수가 아니라 분포입니다. 분포는 테스트 함수에 숫자를 할당하는 방법에 대한 처방입니다. 이 분포는 일반적인 의미에서 함수 값을 가질 필요는 없지만 꼭 가질 필요는 없습니다. 델타 분포의 경우 함수 값이 없습니다.
그래서 진술은
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ 의미 "의 가치 $\delta$ ...에서 $x$ 값과 같음 $\delta$ ...에서 $-x$"은 의미가 없거나 유효하지 않습니다.
그러나 진술 $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ 유효 할 수 있습니다.
의 기능을 쉽게 확인할 수 있습니다. $\Delta$ 과 $x$ (한계 기호 뒤의 표현 정의 $\xi$)은 (의 역할에서 $\delta$). 그래서 그것은 "대칭"이 아닙니다.
델타 분포는 가설 적으로 두 번째 문만 만족시킬 수 있습니다. 그렇게합니까?
우리는 평등의 양쪽을 평가할 수 있습니다. 왼쪽에는 정의에 따라 가치가 있습니다.$\delta(x)$, $f(0)$.
우변 적분을 다음과 같이 변환 할 수 있습니다. $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ 정의에 따라 $\delta(y)$,이 적분의 값은 $f(0)$, 왼쪽과 동일합니다. 그래서 (**) 만족합니다.
방정식 $\delta(x) = \delta(-x)$ 따라서 정의의 결과입니다 $\delta(x)$, 그것은 독립적 인 가정이 아닙니다.
귀하의 기능 $\xi$ 실제로 두 번째 진술에도 복종 할 수 있습니다 (따라서 그 의미에서 대칭). $\Delta$-리미트 기호 뒤의 의존적 표현은하지 않습니다. 이것은 델타 분포의 다른 근사치와 유사합니다. 근사치에는 다음과 같은 속성이 없을 수 있습니다.$\delta$ (예 : 대칭),하지만 한계가 있습니다.
상징물 $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ 두 개의 인수로 $x,y\in\mathbb{R}$Dirac 델타 배포에 대한 비공식 커널 표기법입니다. $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ ~로써 정의 된
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
테스트 기능 용 $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ 위와 같이 정의 된 Dirac 델타는 대칭입니다. $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. OP의 제목 질문입니다.
델타 함수는 함수 세트에 정의 된 분포입니다. 수학자들은 일반적으로 델타 함수가 브래지어 인 bra-ket 표기법을 사용하여 이것을 표현합니다.$<\delta|$ 과 $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
연속 함수 세트에 대해 이야기했다면 대칭 요구 사항이 필요하지 않을 것이라고 생각합니다. 그러나 이것은 일반적으로 그렇지 않습니다. 양자 역학에서 우리는 제곱 적분 함수 세트를 사용합니다. 이것은 불연속성을 허용하는 가벼운 요구 사항입니다.
이제 0에서 불연속적일 수있는 함수를 고려하는 경우 수행 할 작업을 명시 적으로 정의해야합니다. 대칭 델타 분포는 다음과 같아야합니다.
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
연속 함수에서는 동일하게 작동하지만 불연속의 경우에는 다르게 작동하는 다른 "델타 함수"가있을 수 있습니다.
보너스 : 1 차원 양자 역학에서는 연결하는 여러 방법으로 정의 된 "델타와 같은 잠재적 장벽"의 전체 세트를가집니다. $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ ...에 $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. 교과서의 오류로 인해 명명법은 악몽입니다. 각 "델타"또는 "단일 지점에서 지원되는 장벽"은 간격을 결합하는 규칙으로 볼 수 있습니다.$(-\infty, 0)$ 과 $(0, \infty)$.