도출 한계 / 프레쉬 프 동질의 컵 제품 계산 방법
유한 카테고리가 있습니다 $\mathcal{C}$, functor와 함께 $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. 만약$F_j$ 이다 $j$-학년 작품 $F$, 나는 $H^i(\mathcal{C},F_j)$ 에 대한 $i$-도출 된 다이어그램의 역 한계 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$아벨 그룹의. 동등하게, 그것은$i$-뭉치의 cohomology $F_j$, 내가 생각하는 곳 $\mathcal{C}$ 사소한 Grothendieck 토폴로지가있는 사이트로.
나는 다양한 계산했습니다 $H^i(\mathcal{C},F_j)$. 조립하면 컵 제품 구조가 있어야합니다$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. 이 제품 구조를 계산하고 싶습니다.
내가 아는 유일한 방법은 명시 적 해상도, 텐서 곱 및 총 복합체를 포함하는 뭉치 동질 학을 이용하는 것입니다 ([1] 참조). 안타깝게도 저는 다음과 같은 명확한 해결책이 없습니다.$F$ 또는 $F \otimes F$: 손으로하기에는 너무 복잡해 보입니다. $F(c)$일반적으로 무한 생성됩니다. (내 계산에서$H^i(\mathcal{C},F_j)$ 스펙트럼 시퀀스를 사용하여이를 우회했지만 제품 구조가 모호합니다.)
다음과 같은 질문을 받게됩니다.
- 누구든지 presheaf cohomology / 유도 한계의 컵 제품을 계산하는 더 효율적인 방법을 알고 있습니까?
- 그렇지 않은 경우 위에 설명 된 일부 작업을 대신 할 수있는 컴퓨터 소프트웨어가 있습니까?
[1] : RD 스완. 뭉치 동질성, 순수 주사제 및 투영 해상도의 대체품의 컵 제품.
답변
단 (및 presheaf) 코 호모 로지의 컵 제품은 대상이 아닌 소스 (예 : 투영 모델 구조)를 해결하여 계산하기가 쉽습니다. 이러한 방식으로 소스를 확인하는 예는 Yoneda 페어링, 초 동질성 및 컵 제품을 참조하세요 .
고려중인 경우 C의 체인 콤플렉스 프리 시브 카테고리에 투영 모델 구조를 장착 할 수 있습니다. 후자는 명시 적 투영 해상도를 기록하는 데 사용할 수있는 명시 적 cofibrant 대체 펑터가 있습니다. cofibrant 대체 functor는 C와 Ob (C) -indexed chain complex에서 사슬 복합체의 presheave 사이의 부속물에 적용되는 고전적인 바 구조입니다.