독립 확률 변수에 대해 증명 $X_i$, 우리는 $f_i(X_i)$ 독립적입니다.
2 개의 랜덤 변수에 대한 사례 를 설명하는 많은 게시물을 보았습니다 .
독립 확률 변수 및 그 기능
독립 변수의 함수도 독립적입니까?
만약 $X$ 과 $Y$ 그때 독립적이다 $f(X)$ 과 $g(Y)$ 또한 독립적입니다.
만약 $X$ 과 $Y$독립적입니다. 어때$X^2$ 과 $Y$? 그리고 어때$f(X)$ 과 $g(Y)$?
독립 확률 변수의 제곱은 독립적입니까?
증명한다면 $X$ 과 $Y$ 독립하면 $h(X)$ 과 $g(Y)$BASIC 확률에서 독립적입니다. 이중 통합을 사용할 수 있습니까? (실제로 여기에 2 개의 가변 초등학교 케이스를 물 었는데 답이 없습니다)
적어도 3에 대한 사례를 설명하는 게시물을 아직 보지 못했습니다 .
2 가지 상황에서 답변 해주세요
1-고급 확률 이론의 경우 :
허락하다 $X_i: \Omega \to \mathbb R$ 독립 확률 변수 $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$. 허락하다$i \in I$내가 생각하는 모든 인덱스 세트 (또는 셀 수 있어야 함). 물론$card(I) \ge 3$. 그런 다음$f_i(X_i)$독립적입니다. 부여 조건 에$f_i$ 그런 $f_i(X_i)$독립적입니다. 위의 게시물에서 조건이 '측정 가능'이라는 것을 읽었습니다.$\mathscr F$-측정 가능하지만, 조건이 '유계 및 보렐 측정 가능'이어야한다고 이전에 읽었다 고 맹세 할 수있었습니다. $\mathscr B(\mathbb R)$-측정 가능 $(\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R), Lebesgue)$
2-기본 확률 이론의 경우
허락하다 $X_i: \Omega \to \mathbb R$pdf를 갖는 독립 확률 변수입니다. '조인트 pdf가 분할되면 독립적'인 독립성에 대한 기본 확률 정의를 사용하십시오. 나는 인덱스 세트를 추측한다$I$유한 할 필요는 없습니다.이 경우 정의는 의 모든 유한 부분 집합의 조인트 pdf가 독립적 이라고 생각합니다 . 부여 조건 에$f_i$ 그런 $f_i(X_i)$독립적입니다. 물론 우리는 정확히 말할 수없는 것을$f_i$ '측정 가능'합니다.
기본 사례에 대한 컨텍스트 : 독립 랜덤 변수의 선형 조합에 대한 모멘트 생성 함수에 대한 공식 계산을 정당화하려고 합니다 . 여기 참조 : 모멘트 생성 함수의 상한을 도출 할 확률의 불평등 증명
를 바탕으로 확률 리만 - Stieltjes 적분 (또는 르 베그 - Stieltjes 적분)의 적용 , 나는 조건이 어떤 생각$f_i$ 그런 $E[f_i(X_i)]$ 존재 (즉 $E[|f_i(X_i)|]$ 유한).
이것은 Larsen and Marx-Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications 의 동일한 조건입니다 .
나는 생각한다 $f$ bounded는 이것을 의미하지만 반대로는 아닙니다.
업데이트 : 또 다른 질문을 통해 관련 하는 경우$g$ 지속적이고 증가하는 기능입니다. $x$, 증명 $g(X)$랜덤 변수입니다. -> 어떤 기능에 대해 더 일반적으로$g$ 이다 $g(X)$랜덤 변수입니까? 물론 고급 확률로$g$ Borel 측정 가능 또는 $\mathscr F$-측정 가능하든 상관 없지만 기본 확률로 우리는 $g$ 그런 $E[g(X)]$ 즉 존재 $E[|g(X)|] < \infty$, 그래도 이건 그것보다 더 강한 상태라고 생각합니다 $g$이것이 기본 확률에서 의미하는대로 '측정 가능'합니다. 하지만 다시 한 번 이것은 우리가 반드시 기대하지도 않기 때문에 다소 이상합니다.$E[X]$ 존재하다 (즉 $E[|X|] < \infty$) 또는 더 높은 순간 $E[X^n]$ 나는 추측한다.
답변
에 대한 $i\in I$ 허락하다 $\sigma\left(X_{i}\right)\subseteq\mathscr{F}$ 표시하다 $\sigma$-무작위 변수에 의해 생성 된 대수 $X_{i}:\Omega\to\mathbb{R}$.
그런 다음 실제로 우리는 $\sigma\left(X_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\left\{ X_{i}^{-1}\left(B\right)\mid B\in\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $.
컬렉션 $(X_i)_{i\in I}$ 임의 변수의 개수는 다음과 같은 경우 독립적입니다.
모든 유한 $J\subseteq I$ 그리고 모든 컬렉션 $\left\{ A_{i}\mid i\in J\right\} $ 만족스러운 $\forall i\in J\left[A_{i}\in\sigma\left(X_{i}\right)\right]$ 우리는 :
$$P\left(\bigcap_{i\in J}A_{i}\right)=\prod_{i\in J}P\left(A_{i}\right)\tag {1}$$
이제 $f_{i}:\mathbb{R}\to Y_{i}$ ...에 대한 $i\in I$ 어디 $\left(Y_{i},\mathcal{A}_{i}\right)$ 측정 가능한 공간을 나타내며 $f_{i}$ Borel 측정이 가능하다는 점에서 $f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\subseteq\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)$ 독립성을 확인하기 위해 우리는 $\sigma$-대수 $\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
그러나 분명히 : $$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)=\left(f_{i}\circ X_{i}\right)^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\right)\subseteq X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\sigma\left(X_{i}\right)$$ 그래서 만약 $\left(1.A\right)$ 만족합니다 $\sigma\left(X_{i}\right)$그런 다음 자동으로 더 작은$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
2)
랜덤 변수 의 개념 독립성 은 PDF와 모멘트 계산에 영향을 주지만 그 정의는 PDF와 완전히 다릅니다. 예를 들어 PDF의 분할을 기반으로 독립성이 있다고 추론 할 수 있지만 이와 같은 것은 "독립성 정의"상태로 승격되어서는 안됩니다. 그런 상황에서 우리는 그것이 독립을위한 충분한 (필요하지 않은) 조건이라고 말할 수 있습니다. 우리가 궁금해한다면 "$f_i(X_i)$ 독립해야할까요? "그런 다음 독립의 정의에 초점을 맞춰야합니다 (충분한 조건이 아님). 그렇게하면 $f_i$ 충분할 때마다 $X_i$ 이미 독립적입니다.
BCLC 편집 : (drhab이이 부분을 추가로 편집하도록합니다) : 기본 확률에는 '측정 할 수있는'항목이 없으므로 기본 확률의 학생들이 어떤 기능을 접하게 되든간에 '적합'또는 '잘 행동'이라고 말하면됩니다. 적합합니다. 아마도 일부 교과서는 해당 책의 독립성 정의로 사용될 '측정 가능'보다 약한 조건을 사용합니다.
편집 : 측정 할 수없는 (또는 원하는 경우 적합하지 않은) 기능은 일반적인 상황에서 매우 드뭅니다. 그러한 기능의 존재를 증명하기 위해서는 선택의 공리가 필요합니다. 그런 의미에서 구성 가능한 함수 (임의 선택 함수가 필요하지 않음)가 적합하다고 말할 수 있습니다.
측정 이론 :
측정 이론적 대답은 매우 일반적입니다. 실제 라인이나 Borel 세트에 대해 특별한 것은 필요하지 않으며 순수한 측정 가능성 만 필요합니다. 가정$(X)_{i \in I}$ 무작위 요소의 패밀리 (가산 할 필요는 없음)입니다. 여기서 $X_i: (\Omega, \mathscr{F}) \to (A_i, \mathscr{A}_i)$, 즉 각각 $X_i$ 어떤 공간에서 가치를 취하다 $A_i$ 과 $X_i$ 측정 가능하지만 모두 $X_i$ 동일한 입력 공간에 거주 $\Omega$. 공간에 대한 가정이 없습니다.$\Omega, A_i$ 또는 $\sigma$-대수 $\mathscr{F}, \mathscr{A}_i$.
상응하는 기능 군을 보자 $(f_i)_{i \in I}$ 각각에 대해 주어진다 $i$, $f_i: (A_i, \mathscr{A}_i) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$측정 가능합니다. 즉, 각각$f_i$ 입력을받습니다. $A_i$ (의 공동 도메인 $X_i$) 일부 공간에서 값을받습니다. $B_i$ 그런 $f_i$측정 가능합니다. (이것은 각$i$, $f_i(X_i): (\Omega, \mathscr{F}) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$ 의미가 있고 측정 가능합니다.) 다시 말하지만 공간에 대한 가정은 없습니다. $B_i$ 또는 $\sigma$-대수 $\mathscr{B}_i$.
이제 가정 $(X_i)_i$ 일부 확률 측정 하에서 독립 가족입니다. $P$ 의 위에 $(\Omega, \mathscr{F})$, 즉 유한 하위 집합에 대한 $J \subseteq I$ 인덱스 및 측정 가능한 하위 집합 $U_i \in \mathscr{A}_i$ 하나는 $$P(X_i \in U_i \text{ for all } i \in J) = \prod_{i \in J} P(X_i \in U_i).$$
그런 다음 우리는 $(f_i(X_i))_{i \in I}$ 또한 아래의 독립 가족입니다 $P$. 사실,하자$J \subseteq I$ 인덱스의 유한 부분 집합이되고 측정 가능한 부분 집합이되도록합니다. $V_i \in \mathscr{B}_i$주어진. 각각$i \in J$, 측정 가능성에 의해 $f_i$ 과 $V_i$, 하나는 $f_i^{-1}(V_i) \in \mathscr{A}_i$ 따라서 $$ P(f_i(X_i) \in V_i \text{ for all } i \in J) = P(X_i \in f^{-1}_i(V_i) \text{ for all } i \in J) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(X_i \in f^{-1}_i(V_i)) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(f_i(X_i) \in V_i). $$ 그러므로, $f_i(X_i))_{i \in I}$ 독립적 인 가족입니다.
기본 확률 :
기본 확률 솔루션의 경우 독립성에 대한 정의가 무엇인지에 따라 다릅니다. 모든 경우에 정의에는 확률 변수의 유한 부분 집합 만 포함됩니다. 나는의 정의없이 말할 것입니다$\sigma$-대수학, 당신이 여분의 (불필요한) 가정을하지 않는 한 증명은 이해가되지 않습니다. 밀도가 제품으로 분할되는 것으로 정의하는 경우 다음을 확인하기 위해 몇 가지 조건을 가정해야합니다.$f_i(X_i)$밀도가 있고 일반적인 밀도 변환 규칙을 적용 할 수 있습니다. 함수가 셀 수있는 공간에서 값을 취하는 경우 위의 증명은 본질적으로 임의의 것을 대체하는 그대로 반복 될 수 있습니다.$U_i, V_i$ 싱글 톤으로, 즉 $P(f_i(X_i) = y_i, \forall i)$.
또는 측정 이론이 정의 된 질문에 대한 측정 이론 답변을 피하고 있기 때문에 인수의 정확성이 요구 사항이 아닐까요? 학생들에게 "모든 세트 (구두 별표)"에 대해 독립 조건이 유지되어야한다고 말한 다음 측정 가능성을 언급하지 않고 위의 증거를 제공하십시오. 또는 학생들이 토폴로지에 더 익숙하다면 연속 함수 만 사용하고 열린 세트의 사전 이미지를 볼 수 있습니다.