동적 시스템의 볼륨의 의미는 무엇입니까
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_system상태 공간 또는 위상 공간의 볼륨이 변하지 않는다고 설명합니다. "11 이상한 어 트랙터와 Lyapunov dim"이라는 제목 의 강의 노트 . Strogatz 책에서 가져온 eq (2)는 볼륨의 좌표 변환을 보여줍니다. 노트에 표시된 증거가 이상한 어 트랙터가있는 시스템의 볼륨이 좌표 변환과 같은 어떤 종류의 변환에서 변하지 않는다는 것을 의미하는지 이해하고 싶습니다. 좌표 변환을 통해 위상 공간 재구성을 생성하고이를 사용하여 이상한 어 트랙터를 얻을 수 있습니다 . 혼란스러운 역학 시스템에 대한 매개 변수 설정을 적절히 선택하면 이상 함을 알 수 있습니다. 그러나 나는 그 증거를 이해할 수 없습니다.
질문 : 누군가 이상한 어 트랙터를 가진 시스템의 볼륨이 변형에 불변한다는 것을 증명하는 방법과 이것이 의미하는 바를 보여줄 수 있습니까 ?
이상한 어 트랙터의 양이 줄어들거나 늘어나나요?
업데이트 : 8 월 18 일
댓글에 대한 토론을 바탕으로 내가 이해할 수있는 모든 것에서 쓸 수있는 것입니다. 교정 작성을 우아하게 마무리하는 데 도움을 주시면 감사하겠습니다.
증거 : 혼돈 역학에서 시스템에 의해 표시되는 이상한 어 트랙터의 부피는 일부 변형 하에서 변하지 않으며 측정 값 또는 메트릭입니다.
내 생각은 $n_a$ 어 트랙터 차원이고 $d$ 임베딩 차원이고 어 트랙터는 부피가 있습니다. $v$ 어 트랙터 치수 $n_a$. 스칼라 값 시계열을 사용할 수있는 경우 어 트랙터를 다음에서 재구성 할 수 있습니다.$d$ Takens의 지연 삽입 방법에 의한 차원 위상 공간, $d \ge 2n+1$ 어디 $n$관찰 된 시스템의 차원입니다. 우리는 실제 가치에 대한 지식이 없습니다.$n_a$. 이후 분산 시스템 볼륨$v \le 0$, 경우에만 $n \le n_a$, 치수가보다 작으므로 0과 같습니다. $n_a$. 따라서 모든 분산 시스템은 어 트랙터의 부피를 유지합니다. 좌표 변경에 관해서는 어 트랙터가 마디 제로 세트이므로 모든 부드러운 맵 아래 어 트랙터의 이미지도 마디 제로가됩니다.
이제 어 트랙터가 측정 값이 0이고 Lebesgue 측정 값과 같은 측정 항목임을 어떻게 증명합니까? 누군가가이 증명을 공식적으로 작성하는 데 도움을 줄 수 있습니까? 감사합니다.
답변
볼륨이라고하면 정말 '측정'을 의미합니다. 공간에 대한 측정$X$ 기능이다 $\mu$ 길이 (또는 면적, 부피 또는 확률)를 할당하는 특정 공간 $X$ 또는 문맥은 일반적으로 "좋은"주제에 대한 측정이 무엇인지에 대해 어떻게 생각 하는지를 지시합니다. $X,$ 여기서 "nice"는 사전에 누군가가 $X$측정 할 수 있습니다. 이를 측정 가능한 세트라고합니다.
지도 $T : X\rightarrow X$ 이라고합니다 $\mu$-불변 if (a) 언제나 $S$ 측정 가능하므로 $T^{-1}(S)$, 및 (b) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ 할때는 언제나 $S$ 측정 가능합니다.
그것을 확인하는 방법은 세부 사항에 따라 많이 다릅니다. 매우 일반적이고 유용한 트릭 중 하나는 '생성'하는 세트 제품군에 대해 (a) 및 (b)를 확인하는 경우 모든 측정 가능한 하위 집합에 대해 조건 (a) 또는 (b)가 유지되는지 확인할 필요가 없다는 것입니다. 측정 할 수있는 세트의 집합을 수집하면 모든 곳에 보관된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 예를 들어 공간이$X = [0, 1]$ 일반적인 "Lebesgue measure"를 사용하여 $X$ 길이, 확인하면 충분합니다 $T$ 간격 측정 값을 보존합니다.
몇 가지 :
- 방정식 2 아래의 참고 사항을 확인하십시오.
분산 시스템에는 어 트랙터가있는 반면 체적 보존 시스템에는 어 트랙터 나 리 펠러가있을 수 없습니다.
이것은 "볼륨"이 Lebesgue 척도를 의미하는 의미에서 사실입니다. $\mathbb{R}^n$. 어 트랙터는 위상 공간 자체보다 반드시 더 낮은 차원이므로 (Lebesgue 의미에서) 볼륨은 0이어야합니다. 예 : 표면의 체적$\mathbb{R}^3$표면이 2 차원이므로 0입니다. 어 트랙터가 반드시 Lebesgue 볼륨 0을 갖기 때문에 이러한 볼륨 보존은 사소한 것일 수 있습니다.
그래서 이것은 당신의 질문에 대답하는 것 같습니다. 그러나 이상한 어 트랙터에 대한 역학은 일반적으로 위키피디아의 첫 번째 기사에서 읽고있는 섹션 인 에르 고딕 입니다. 에르 고딕 역학은 일반적으로 불변 측정 (invariant measure )이라는 것을 가지고 있는데, 이는 역학 (불변)에 의해 보존되는 볼륨 (측정)의 개념이 있음을 의미합니다. 따라서 어 트랙터를 매개 변수화 할 수 있다면, 즉$\mathbb{R}^n$ 어 트랙터에 대한 "볼륨"은 어 트랙터와 역학의 변하지 않는 측정이라는 의미에서 실제로 보존 될 것입니다.