두 개의 변수가있는 미적분 죄 한계 [다 변수 미적분]

Question

아래 한도를 어떻게 해결합니까?

$$\tag{1} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}?$$

내 접근 방식 :

나는 극좌표를 사용했다 $x = r \cos(\theta)$ 과 $y = r \sin(\theta)$

그래서 (1) => $$\tag{2} \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}.$$

그리고 첫 번째 해결책 :

내가 설정 $w = r (\cos(\theta) + \sin(\theta)$ 그렇게 할 때 $r\to 0 $ 과 $w\to 0$

(2) $\Rightarrow \lim_{w\to 0} \frac{sin(w)}{w}= 1$.

두 번째 해결책 : L' Hospital의 규칙 :

\begin{align} (2) \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{(\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}{(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}& = \lim_{r\to 0} \frac{\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))*(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\\ & = \lim_{r\to 0} {\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))} = \cos(0) = 1. \end{align}

내 접근 방식이 맞습니까? 그렇지 않은 경우 올바른 솔루션을 제공 할 수 있습니까?

Answer 1

당신은 그것을 사용할 수 있습니다 $z(x,y)=x+y$ 과 $f(t)=\frac{\sin t}{t}$ 연속 기능이며 중첩도 연속적입니다.

Rudin W.-Principles of mathematical analysis- (1976) page 86. 정리 4.7

가정 $X,Y,Z$ 미터법 공간, $E \subset X$, $f$ 지도 $E$ 으로 $Y$, $g$ 범위를 매핑 $f,f(E)$,으로 $Z$, 및 $h$ 의 매핑입니다 $E$ 으로 $Z$ 정의 $h(x)=g(f(x)), x \in E$. 만약$f$ 연속적이다 $p \in E$ 과 $g$ 지점에서 연속 $f(p)$, 다음 $h$ 연속적이다 $p$.

Answer 2

다변량 제한의 정의부터 시작하겠습니다. $\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=L$ 다음과 같다$$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall(x,\,y)\left(0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-L\right|<\epsilon\right).$$우리는 이것을 증명할 수 있습니다. $L=1$ 사용$$\forall\epsilon>0\exists\delta^\prime>0\forall(x,\,y)\left(0<|x+y|<\delta^\prime\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\epsilon\right).$$우리는 선택해야합니다 $\delta$ 측면에서 $\delta^\prime$ 그래서 $\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to|x+y|<\delta^\prime$. 가져 가면 충분합니다.$\delta=\delta^\prime/2$(증거는 연습이다); 사실, 그것은 취하기에 충분합니다$\delta=\delta^\prime/\sqrt{2}$ (증거는 약간 더 어려운 운동입니다).