두 개의 무한 합의 몫의 한계 평가
이 제한을 어떻게 평가할 수 있습니까?
$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$
WolframAlpha에 의해 제한은 2이어야하지만 어떻게 보여줄 수 있습니까? 단조롭게 늘어나서 보여줄 수있을 때$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, 완료됩니다. 근데 좀 붙어있어 ...
답변
분모는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ 이 후에는 매우 쉬워집니다 : 분자와 분모를 $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. 이것은 당신에게 한계를 제공합니다$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$
L' Hopital의 규칙은 특정 조건에서 개별 버전을 가지고 있습니다. 일반적으로 Stolz-Cesaro 정리 로 알려져 있습니다. 여기서 우리는 합산을 통합으로 취급합니다 (반대로 차이를 미분으로 간주). 문장은 일반적으로 다음과 같습니다.$\{ b_n \}$ 긍정적이고 $\sum b_n = \infty$ (즉, 발산), 모든 시퀀스에 대해 $\{ a_n \}$ 그런 현실의 $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, 우리는
$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$
이것의 아주 멋진 결과는 한계 비교 테스트입니다.
주어진 예를 들어, $a_n = 1/n$ 과 $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ 얻기 위해 $2$ 한계로.
직관적 인 설명 :
비율은
$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ 그리고 성장을 위해 $k$, 용어 $\frac12$점점 덜 중요해집니다. 동시에 두 계열이 모두 갈라 지므로 초기 항은 중요하지 않습니다.
더 심각한 주장으로, 통합으로 합계를 괄호로 묶고 다음 형식의 경계를 얻을 수 있습니다. $\log n+c$. 그런 다음 짜내
$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$
용어별로 용어를 비교하면 $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ 비슷하게, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ 그러므로, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ 따라서, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ 이제 Squeeze Theorem을 적용하십시오.