두 곡선이 공통 접선을 갖는 조건
곡선을 고려하십시오 $by=x^2+x+\frac{b}{24}$ 과 $bx=y^2+y+\frac{b}{24}$ 두 곡선이 공통 접선을 갖는 경우 b가 취할 수있는 값은 무엇입니까?
나는 두 곡선이 서로 반대이거나 대칭 적 인 것을 관찰했습니다. $y=x$. 내 직감은 이것이 문제의 핵심이라는 것입니다. 그러나 나는 더 이상 갈 수 없습니다.
그래서 저는 포물선에 접하는 일반 공식을 사용해 보았습니다. $(y-f)^2=4a(x-g)$ 그것은 $y-f=m(x-g)+\frac{a}{m}$ 하지만 표현이 너무 복잡 해져서 드디어 아이디어를 얻기 위해 대략적인 스케치를 그려 보았지만 너무 많은 하위 사례를 고려해야합니다.
2 분 안에 문제를 풀 것으로 예상하는 모의 테스트에서이 문제를 발견했기 때문에이 문제에 접근하는 비교적 간단한 방법이 있다고 생각합니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.
편집 나는 아래 주어진 모든 대답에 동의하지만 솔루션을 보았을 때 그들이 무엇을하려고하는지에 대한 단서가 없습니다.$b=\frac{3}{2} and \frac{2}{3}$. 나는 다음과 같이 나머지 부분을 이해하지 못합니다.
허락하다 $a=\frac{1}{b}$ 두 곡선이 P1과 P2에서 교차하지만 P1에서 첫 번째 곡선에 접하는 경우 y = x에 수직이므로 P1의 두 번째 곡선에 접합니다.
접선의 기울기 =$2ax+a$ .As (a, x)가 이것을 만족하므로
$2ax+a=-1$ 및 해결 $x=ax^2+ax+\frac{1}{24}$
$a=\frac{-13+\sqrt{601}}{12}=\frac{1}{b}$
나는 주어진 답을 썼다.
답변
포물선은 선에 관한 것입니다. $y=x$ (그들은 선에 대한 서로의 거울 이미지입니다 $y=x$). 따라서 공통 접선도 대칭 aboy가됩니다.$y=x$. 두 가지 가능성이 있습니다.
사례 1 : $x=y$ 공통 접선입니다.
공통 접선이 하나 있어야한다면 $y=x$ 그들 중 하나에서 $$x^2+(1-b)x+b/24=0$$,이 2 차에는 실수 근이 하나만 있으면되므로 조건은 $B^2=4AC$ 만족해야합니다 : $$(1-b)^2=\frac{b}{6} \implies 6b^2-12b+6=0 \implies b=\frac{13\pm 5}{12} \implies b=\frac{3}{2},\frac{2}{3}.$$ 일 때만 $b=3/2, 2/3$ $y=x$ 공통 접선입니다.
사례 2 : 언제 $x+y=-k$ 공통 접선 (보다 일반적)
그런 다음 우리는 $y=-k-x$ 첫 번째 포물선에서 $$x^2-(1+b)x+bk+b/24=0$$ 탄젠시를 위해 우리는 $B=4AC$, 우리는 $$(1+b)^2=4bk+b/24 \implies k=\frac{(1+b)^2}{4b}-\frac{1}{24}~~~~(*)$$ 따라서 실제 가치에 대해 $b$ $x+y=-k$,이 포물선에 공통 접선이됩니다. $k$ 에서 오는 $(*)$.
사례 3 : 두 개의 공통 접선
재미있게, $b=3/2,2/3$ 준다 $k=1.$ 그래서 $x+y=1$ 과 $y=x$ 주어진 두 포물선에 대한 두 개의 공통 접선입니다.
아래 그림을 참조하십시오. $b=4$ (공통 접선 하나, $x+y=73/48.$) 그리고 $b=3/2$ (두 개의 공통 접선 $y=x, x+y=1$).
방정식의 직선을 고려하십시오
$$x+y=c.$$
포물선과 교차합니다.
$$by=x^2+x+\frac b{24}$$ 그리고 제거함으로써 $y$우리는 2 차 방정식을 얻습니다. 판별자는
$$(b+1)^2-\frac b6+4bc$$
취소 (이중 루트)
$$c=\frac1{24}-\frac{(b+1)^2}{4b}.$$
이것은 첫 번째 포물선에 대한 접선에 해당하며 $x,y$, 또한 두 번째 항목에 접합니다. 따라서 모두에게 공통 접선이 있습니다.$b\ne0$.
Fi, $b=4$,
