두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리 (모든 소수 $p$ 성 $p \not\equiv 3 \pmod 4$ 두 제곱의 합)

Aug 20 2020

나는 다음 증거를 반영하고있다 (아래 참조). 내 질문은 주어진 사실을 사용하는 곳입니다 ($p \not\equiv 3 \pmod 4$)? 나는 그것이이 사실을 사용하는지 확신하지 못하며, 그것은 내가 뭔가 잘못되었다고 생각하게 만듭니다. 도움을 주시겠습니까?

가능한 부분 증명의 초안. 허락하다$p = 3 \pmod 4$소수입니다. 그것을 가정$p = a^2 + b^2$. 그때$a^2 + b^2 = 0 \pmod p$, 암시 $a^2 = -b^2 \pmod p$. 양쪽을 들어 올려$(p-1)/2$그런 다음 문제 세트 6에서 본 Fermat의 작은 정리를 사용하여 $p \mid 2$.

답변

1 JonathanGai Aug 20 2020 at 17:46

질문에 오타가 있다고 가정합니다. 만약$p \equiv 1 \pmod{4}$, $(p-1)/2$ 짝수이므로 $1 \equiv 1 \pmod{p}$그것은 모순이 아닙니다. 일 때만$(p-1)/2$ 이상하다, 당신은 얻을 것이다 $ 1 \equiv -1 \pmod{p}$.

2 Peter Aug 20 2020 at 17:43

힌트 : 모든 완벽한 사각형은 $\ 0\ $ 또는 $\ 1\ $ 모듈로 $\ 4\ $. 이것은 케이스별로 쉽게 표시 될 수 있습니다. 그리고 이것으로부터 쉽게 다음과 같은 형태의 소수가$\ 4k+3\ $ 두 개의 완벽한 제곱의 합이 될 수 없습니다.

2 MarkSapir Aug 20 2020 at 17:44

문제는 어디에서 $p\equiv 3\mod 4$. 답변 : 당신은$(p-1)/2$ 이상하고 그래서

$$(-b^2)^{\frac{p-1}{2}}=-1\mod p.$$

그것은 $p\equiv 3\mod 4$