두 평면의 교차점 사이의 점 찾기
평면의 두 교차점 사이에서 선을 찾는 연습을 할 때 선의 점과 방향 벡터를 찾아야합니다. 방향 벡터는 두 법선에 수직이기 때문에 쉽지만 점을 취하는 방법에 대해 약간 혼란 스럽습니다.
두 평면의 방정식이 주어 졌다고 가정 해 보겠습니다.
$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$
과,
$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$
교차 선을 따라 점을 찾기 위해 종종 좌표 중 하나를 0으로 설정하라는 지시를받습니다. $x, y$ 또는 $z$그런 다음 나머지 좌표를 해결합니다. 하지만, 왜 우리가 이것을하는지 모르겠습니다.에서와 같이 두 선의 교차점 사이의 선이 항상 있어야한다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?$x$ , $y$ 과 $z$ 요격?
내가 본 이 게시물을 하지만 내 쿼리를 해결할 생각하지 않았다 그것은에서 해결되지 않은 어느 쪽 이 하나
답변
한다고 가정 $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. 그런 다음 다음과 같이 문제를 재구성 할 수 있습니다.
$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ 그리고 해결 $x$ 과 $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ 이것은 모든 $z=t\in{\Bbb R}$ 특별한 솔루션을 얻을 수 있습니다. $x$ 과 $y$. 여기서 일어나는 일은 두 평면의 교차점이$P_1,P_2$ 비행기로 $z-t=0$ (0이 아닌 AB 행렬식으로 인해) 두 개의 평행하지 않은 선을 제공합니다. $x-y$비행기. 따라서이 두 선에는 고유 한 교차점이 있습니다.
이제 위의 AB 행렬식이 0 일 때 (그러므로 $x-y$ 평면이 평행 한 경우) 0이 아닌 것을 찾을 수 있습니다. $B-C$ 행렬 (그리고 $y,z$) 또는 0이 아닌 $C-A$ 행렬 (그리고 $z,x$). 이 모든 결정자가 0이면 두 개의 원래 평면이 실제로 평행하므로 교차점이 비어 있거나 평면입니다.
계산하는 세 가지 결정자는 실제로 평면에 대한 법선 벡터의 외적 구성 요소이므로 소멸되지 않는 외적은 실제로 교차점이 선이되는 조건입니다.
다음 중 하나를 가정하여 이러한 질문을 해결할 수 있습니다. $(x,y,z)$0이되거나 1을 상수로 유지합니다. 그들 중 하나를 0으로 유지하는 배후의 직관은 우리가 얻는 대부분의 선이 평면과 평행하지 않기 때문에 확실히 교차해야한다는 것입니다.
그렇지 않은 경우 변수를 0으로 유지하면 일관되지 않은 선형 방정식 쌍이 생성됩니다.