두 수렴 시퀀스의 항의 차이가 null이면 시퀀스의 한계가 같다는 증거

Question

Propositon : 실제 시퀀스가 $\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$ 수렴하고 $\{a_n - b_n \}$ null 시퀀스 인 경우 $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

이것은 내 시도였습니다.

표시 $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ 과 $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. 가정$m \neq n$. 가정$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. 수렴으로$\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$, 엡실론의 지정된 값을 사용하여 충분히 큰 $n$ 우리는 그것을 가지고 $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, 및 $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. 이것으로부터 우리는

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

그러나 밀도에 의해 $\mathbb{R}$, 일부가 있습니다 $r \in \mathbb{R}$ 그런 $a_n - b_n > r$ 충분히 큰 $n$. 그러나 이것은$\{a_n - b_n\}$ 널 시퀀스이므로 $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

나는 가정에서 모순을 추론하는 데 의존하지 않는 증거가 있는지 확인하는 데 관심이 있습니다. $l \neq m$. 이것은 실망스럽게도 내가 일차 논리로 쓸 때 증명하기 위해 애쓰는 '명백한'진술 중 하나처럼 보입니다. 특히 직접 할 수있는 방법을 찾지 못했습니다.

Answer 1

모순에 의한 증명은 실제로 여기에서 가장 자연스러운 접근 방식입니다. 직관은 간단합니다. 시퀀스의 한계가 다르면 결국에는 그 한계에 가까워 야하므로 서로 가까워 질 수 없습니다.

하지만 좀 더 쉽게 할 수 있습니다. 허락하다$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. 있습니다$n_0\in\Bbb N$ 그런 $|a_n-\ell|<\epsilon$ 과 $|b_n-m|<\epsilon$ 할때는 언제나 $n\ge n_0$. 하지만

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

모든 $n\ge n_0$, 그래서

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

모든 $n\ge n_0$, 가정과 모순되는 $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ 널 시퀀스입니다.

당신의 주장에는 몇 가지 문제가 있습니다. 첫째, 당신은 가정하는 것 같습니다$\ell>m$; 이 가정을한다면 일반성의 실질적인 손실은 없지만 적어도 당신이 그것을 만들고 있다고 말할 필요는 있습니다. 당신은 또한 분명히 마지막에$a_n-b_n$그럴 필요는 없습니다. 마지막으로, 그리고 가장 중요한 것은 실제$r$ 그런 $a_n-b_n>r$ 충분히 큰 $n$: 이것은 실제로 사실입니다 $|a_n-b_n|$ 그리고 긍정적 인 $r$, 그러나 이것은 밀도와 관련이 없습니다. $\Bbb R$.