에 대한 정수 솔루션이 없음을 증명 $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$
나는이 문제에 대해 꽤 오랜 시간 동안 어려움을 겪었고, 동료들과 교사들에게 물었고, 아직 해결책을 찾지 못했습니다. 문제는 다음과 같습니다.
방정식에 대한 정수 솔루션이 없음을 증명 $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$
내가 시도한 것은 다음과 같습니다.
- 확장, 이동, 인수 분해 (유용한 것으로 고려할 수 없음)
- 확장, 3 차 방정식으로 변환 (해결하기 너무 어려움)
- 2 차 공식을 사용하여 확장, 2 차로 변환 (충분히 단순화 할 수 없음)
여러분이 도울 수 있다면 좋을 것입니다!
최고, Anay Aggarwal
답변
방정식을 다음과 같이 다시 작성하십시오. $y/x=x(y^2-1)-2y$, 우리는 $x\mid y$(오른쪽이 정수이기 때문에). 그래서$y=xu$ (와 $x\not=0$), 우리는
$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$
의미하는 $x\mid u$ 과 $u\mid x$, 그래서 $u=\sigma x$ 와 $\sigma=\pm1$. 그러나 이것은
$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$
단순화합니다 (취소시 $x$) ~
$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$
그리고 둘 다 $x^4-2x-2=0$ ...도 아니다 $x^4+2x=0$ 0이 아닌 정수 루트가 있습니다.
글쎄 당신은 가질 수 없습니다 $x=0$ 그래서 곱하십시오 $x$ 얻기 위해 $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$
그럼 당신은 $y=\pm 1$ [또는 $y=0$] (제외 가능) 또는 왼쪽이 양수입니다.
이제 용어를 비교하십시오. $x$ 양쪽에 (주의 $2x+1$ 음수 일 수 있음) 및 용어 $y$ (비슷한주의)
우리는 주어진다 $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ 와 $x,y\in\Bbb Z$. 의 존재$1/x$ 용어는 의미 $x\neq0$ 따라서 $y\neq0$. 곱하기$x$ 준다 $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$참고 $2x+1$이상하다. 그 후$y$ 이상 할 수 없습니다. $y^2-1$짝수이고 방정식은 짝수와 홀수를 동일시합니다. 그래서$y$짝수이다. 그 후$x^2$ 짝수이므로 $x$. 그것은 다음과 같습니다$y$ 나눌 수있다 $4$. 그때$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$, 동안 $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$. 결과적으로 우리의 방정식은 만족할 수 없습니다.
MSE에 오신 것을 환영합니다. 당신은 해결할 수 있습니다$y$ 2 차 공식 사용 : $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$이 답변을 구한 JW Tanner에게 감사드립니다. 에 대한$x\ge 1$, $4x^4+4x^2+4x+1$ 사이에 $(2x^2+1)^2$ 과 $(2x^2+2)^2$, 따라서 제곱근은 정수가 아닙니다. 마찬가지로$x\le-1$, 그것은 사이 $4x^4$ 과 $(2x^2+1)^2$, 그리고 우리는 사건을 배제 할 수 있습니다 $x=0$원래 방정식에서. 그러면 정수 솔루션이 없습니다.
우리는
$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ 2 차로 풀기 $x$
$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$
이차 공식 사용
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$
우리는 $2$ 얻기 위해
$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$
제곱근을보세요. 유일한 유리 근은 $y = 0$ (RRT에 의해),하지만이 솔루션을 테스트하고, $x = 0$, 첫 번째 표현식에는 $\frac{y}{x}$ 그것에, 그리고 분명히 나눈 $0$ 이 경우 불법입니다.
그것을 보는 또 다른 방법 $y = 0$ 유일한 합리적 뿌리는 요인입니다
$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$
그때 $y^2+y-1$ 합리적인 뿌리가 없습니다.
따라서 정수 솔루션이 없습니다.
그래프 작성이 실제로 증거를 제공하지는 않지만 흥미로운 부분을 인식하는 데 도움이 될 수 있습니다. Desmos에서 방정식을 그래프 화하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0
이 그래프는 다른 정수 솔루션이 없음을 분명히 보여줍니다. $(0,0)$, 우리는 가질 수 없기 때문에 제거해야합니다. $x=0$. 그러나 이것을 증명하는 방법? 모순에 의한 증거가 최선의 방법이라고 생각합니다.
취하다 $x, y \in \mathbb Z $. 그런 다음 왼쪽$x(y^2-1)$ 항상 정수입니다.
우리는 이미 알고 있습니다 $x \neq 0$
먼저 $x = \pm 1$. 우리는$y^2 - 1 = 3y$ 또는 $1-y^2=y$. 둘 다$y^2-3y-1$ ...도 아니다 $y^2+y-1$ 합리적 뿌리가 있습니다 (합리적 뿌리 정리에 의해, $y$ 단지 될 수 있습니다 $\pm 1$, 어느 선택도 0을 제공하지 않습니다).
둘째, 고려하십시오 $x$다른 정수입니다. 따라서$2+1/x$정수가 아닙니다. 좌변이 정수 여야한다는 것을 알기 때문에 우변도 정수가 되려면$y$ 다음의 정수배 여야합니다. $x$, 또는 $y=kx, k \in \mathbb Z$. 어떤 경우에 우리는 :
$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$
유리 근 정리에 따르면 모든 정수근은 다음 중 하나 여야합니다. $\{\pm1,\pm k,k^2\}$. 그 루트 중 어느 것도 정수의 경우 왼쪽을 0으로 만들지 않기 때문에$k$, 정수 루트가 없습니다. $|x| > 1$.
우리는 가능한 모든 정수 솔루션을 제거했습니다. $x$. 따라서 해결책이 없습니다.$x,y \in \mathbb Z$.
조금 복잡하지만 도움이되기를 바랍니다.