에 대한 Tonelli의 정리 증명 $n$ 요인
Tonelli 정리의 다음 확장을 증명하려고합니다.
제안. 허락하다$(\Omega_j,\mathcal{A}_j,\mu_j)$ $j=1,\dots,n$ 있다 $\sigma$-유한 측정 공간. 허락하다$f\to[0,\infty]$ 콩 $\mathcal{A}_1\otimes \dots\otimes\mathcal{A}_n$ 측정 가능한 기능 $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$. 그런 다음 모든 순열에 대해$j_1,\dots,j_n$ 의 $1,\dots,n$ 우리는
$$\int f(\omega_1,\dots,\omega_n) \,d (\mu_1 \otimes \dots \otimes \mu_n)=\int \dots \int f(\omega_1,\dots,\omega_n)\,d\mu_{j_1}\dots d\mu_{j_n}$$
RHS의 각 적분은 제품과 관련하여 측정 할 수 있습니다. $\mathcal{A}_j$통합이 아직 발생하지 않은 좌표에 해당합니다. 내 책은 그것이 단순한 귀납법이라고 말하지만 어떻게 든 내 증명이 복잡해 보인다.
나는 신원 순열의 경우를 고려하는 것으로 충분하다고 생각합니다. 이것은 우리가 평등을 가지고 있기 때문입니다
$$\int f(\omega_1,\dots,\omega_n) \,d (\mu_1 \otimes \dots \otimes \mu_n)=\int f(\omega_{1},\dots,\omega_{n}) \,d (\mu_{j_1} \otimes \dots \otimes \mu_{j_n})$$
보다 https://math.stackexchange.com/questions/3799818/does-order-matter-when-integrating-with-product-measures. 즉, 우리가$f$ 기능으로 $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$ 또는 $\Omega_{j_1}\times\dots\times\Omega_{j_n}$.
이 올바른지? 의견은 여기에서 가능한 여러 접근 방식을 나타내는 것 같습니다. 모든 증명 개요는 대단히 감사합니다.
답변
모든 것을 명확하게하기 위해 Tonelli의 정리에 대한 설명을 적어 보겠습니다.
허락하다 $(X, \mathcal M, \mu)$ 과 $(Y, \mathcal N, \nu)$ 있다 $\sigma$-유한 측정 공간 및 $f: X \times Y \to [0,\infty]$ 있다 $\mathcal M \otimes \mathcal N$측정 가능. 그때:$$\int f d(\mu \times \nu) = \int \left(\int f(x_1, x_2) d\nu(x_2)\right) d\mu(x_1) = \int \left(\int f(x_1, x_2) d\mu(x_1)\right) d\nu(x_2).$$
이제 진술에 대한 증거를 작성할 수 있습니다. 허락하다$(X_j, \mathcal M_j, \mu_j)$ 한정된 집합이되다 $\sigma$-유한 측정 공간 및하자 $f : \prod_{j=1}^n X_j \to [0,\infty]$ 있다 $\bigotimes_{j=1}^n \mathcal M_j$ 측정 가능.
참고 $\bigotimes_{j=1}^n \mathcal{M}_j = \mathcal M_1 \otimes \bigotimes_{j=2}^n \mathcal M_j$, 그 $\mu_1 \times \mu_2 \times \cdots \times \mu_n = \mu_1 \times (\mu_2 \times \cdots \times \mu_n)$, 그리고 $(\prod_{j=2}^n X_j, \bigotimes_{j=2}^n \mathcal M_j, \mu_2 \times \cdots \mu_n)$ 이다 $\sigma$-유한 (이것은 제품의 $\sigma$-유한 측정 공간은 $\sigma$-유한 및 유도).
따라서 위의 Tonelli 정리의 첫 번째 적용 (즉, 유도)을 반복적으로 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. $$\int f d(\mu_1 \times \cdots \times \mu_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n).$$
이제 우리는 제안의 가정하에 다음과 같은 것을 귀납적으로 보여줍니다. $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})\right) \cdots \right) d\mu_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)})$$ 모든 순열 $\sigma \in S_n$.
분명히 사실입니다 $n=1$.
다음을 위해 표시되었다고 가정합니다. $n$을 선택한 다음 $\sigma \in S_{n+1}$. 그런 다음 정의$\tau \in S_n$ 귀납적으로 $\tau(1) = \sigma(1)$ 만약 $\sigma(1) \ne n+1$ 그밖에 $\sigma(2)$ 과 $\tau(j+1) = \sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+1)$ 만약 $\sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+1) \ne n+1$ 그밖에 $= \sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+2)$.
그 결과 $\tau$ 주선하다 $1,...,n$ 같은 순서로 $\sigma$. 그런 다음 귀납적 가설을$\tau$ 각각에 대한 내부 적분에 $x_{n+1}$: $$\int \left (\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n) \right) d\mu_{n+1}(x_{n+1}) = \int \left(\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_{\tau(1)}(x_{\tau(1)})\right) \cdots \right) d\mu_{\tau(n)}(x_{\tau(n)})\right) d\mu_{n+1}(x_{n+1}).$$ 그 이후 $\tau$ 놓다 $1,...,n$ 같은 순서로 $\sigma$, 남은 모든 것 $1,...,n+1$ 에 의해 유도 된 순서로 $\sigma$ 삽입하는 것 $d\mu_{n+1}(x_{n+1})$ 두 개의 인접한 위치를 표시하는 것으로 충분합니다. $d\mu_i(x_i)$ 과 $d\mu_j(x_j)$ 통근 가능 (그런 다음 반복적으로 통근 $d\mu_{n+1}(x_{n+1})$ 오른쪽 지점이 증명을 마칠 때까지 왼쪽).
이제 우리가 할 것입니다. 청구:$$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \bigg) d\mu_j \cdots \right) d\mu_b(x_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \bigg) d\mu_i \cdots \right) d\mu_b(x_n).$$
그러나 이것은 다음을 보여주기에 충분하기 때문에 Tonelli의 정리를 직접 적용한 것입니다. $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \right) d\mu_j = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \right) d\mu_i,$$ 그리고 우리는 : $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \right) d\mu_j = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_j \times \mu_i = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \right) d\mu_i.$$
종합하면 증명이 완성됩니다.
참고 : 또는 모든 것 대신 $\tau$ 물건, 우리는 마지막 주장을 사용하여 측정 값의 순열 집합이 연속적인 순열을 포함하는 하위 그룹임을 보여줄 수 있습니다. $(i, i+1)$ 그리고 그것을 증명하십시오 $(i, i+1)$ 생성 $S_n$, 내가 "$\tau$-section "이지만 약간 혼란 스러울 수 있습니다.