에 대한 $\triangle ABC$, 표시 $ac\cos B+ab\cos C-bc\cos A-a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ-C)}$

Aug 19 2020

삼각형 $\triangle ABC$ 측면이있다 $a$, $b$, 및 $c$및 circumradius $R$. 증명$$ac \cos B + ab \cos C - bc \cos A - a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ - C)}$$ 평등은 언제 발생합니까?

나는 다른 포럼에서이 질문을 보았고 그것이 흥미 롭다고 생각했습니다. 약간의 진전이 있었지만 많이는 아니 었습니다.$R^2$부등식의 분수로. 나는 아마도 사인의 법칙이나 코사인의 법칙의 또 다른 사용이 있다고 생각하지만 하나를 찾을 수 없습니다.

편집 : 많은 사람들이 문제가 옳은지에 대해 질문합니다. 다음은 원래 문제입니다.

삼각형 $\triangle ABC$ 측면이있다 $a$, $b$, 및 $c$및 circumradius $R$. 증명$b^2 + c^2 - a^2 \ge -R^2$ 평등은 언제 발생합니까?

답변

1 MichaelRozenberg Aug 19 2020 at 00:56

이드는 코사인의 법칙에 따라 다음을 증명해야합니다. $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}-a^2\leq\frac{c^2}{8\left(\frac{2S}{ab}\right)^2},$$ 어디 $S=\frac{1}{4}\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}$.

따라서 우리는 $$b^2+c^2-a^2+\frac{a^2b^2c^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}\geq0.$$ 이제 $a=y+z$, $b=x+z$$c=x+y$.

그러므로, $x$, $y$$z$ 긍정적이고 우리는 다음을 증명해야합니다. $$2(x^2+xy+xz-yz)+\frac{\prod\limits_{cyc}(x+y)^2}{16xyz(x+y+z)}$$ 또는 $$(y^2+34yz+z^2)x^4+2(y^3+35yz+35y^2z^2+z^4)x^3+$$ $$+(y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4)x^2+$$ $$+2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)x+y^2z^2(y+z)^2\geq0.$$ 이제 $x^4=t\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}.$

따라서 $$y^2+34yz+z^2\geq36\sqrt[3]{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$2(y^3+35y^2z+35yz^2+z^3)\geq144\sqrt{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4\geq120\sqrt[3]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^2},$$ $$2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)\geq-48\sqrt[6]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^5}$$$$y^2z^2(y+z)^2\geq4\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12},$$ 다음을 증명하는 것으로 충분합니다. $$36t^4+144t^3+120t^2-48t+4\geq0$$ 또는 $$(3t^2+6t-1)^2\geq0$$ 그리고 우리는 끝났습니다!

평등은 $t=\frac{2}{\sqrt3}-1$ 예를 들어 $y=z=1$, 제공 $x=\frac{2}{\sqrt3}-1$ 각도가 측정 된 삼각형이 있습니다. $30^{\circ}$, $30^{\circ}$$120^{\circ}.$

g.kov Aug 19 2020 at 19:45

두 번째 질문 (동등)에 대한 답.

삼각형 $ABC$ 측면이있다 $a$, $b$, 및 $c$, 해당 각도 $\alpha,\beta,\gamma$, 반주 $\rho$, inradius $r$ 및 외경 $R$. 증명\begin{align} R^2-a^2+b^2+c^2\ge0\tag{1}\label{1}. \end{align} 평등은 언제 발생합니까?

\ eqref {1}를 $R^2$, 우리는

\begin{align} 1-4\sin^2\alpha+4\sin^2\beta+4\sin^2\gamma&\ge0 \tag{2}\label{2} . \end{align}

\ eqref {2}가 다음과 같은지 확인하는 것은 쉽습니다. $\alpha=120^\circ,\beta=\gamma=30^\circ$. 즉, \ eqref {1}는 이등변 삼각형에 대해$\alpha=120^\circ$.