에 정의 된 메트릭 공간에 대한 질문 $\mathbb{Q}$.
중히 여기다 $\mathbb{Q}$모든 유리수의 집합입니다. 한정된$d(p,q)=|p-q| $. 그렇다면 다음 중 옳은 것은 무엇입니까?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ 닫힙니다.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ 닫힙니다.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ 컴팩트합니다.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ 컴팩트합니다.
그래서 나는 그것에 대해 생각하고 있었는데, 이것이 제한되지 않았기 때문에 옵션 4는 사실이 아닙니다. 따라서 비유 계에서 간결하지 않습니다. 그래서 우리가 여기서 4의 세트를 보여줄 수 있다면, 저는 1이 닫혀 있지 않다고 생각합니다.$\mathbb{Q}$ 일부 오픈 세트를 결합 $\mathbb{R}$.
다른 진술의 경우 "메트릭 공간은 완전하고 완전히 경계가있는 경우 컴팩트하다"라는 일반 기준을 사용할 수 있습니다. 하지만 이렇게하려면 도움이 필요합니다.
답변
1을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ 이것은 실제 오픈 세트 (개방 간격이 열려 있음)와 교차합니다. $\Bbb Q$, 세트가 열려 있습니다. $\Bbb Q$. 또한 폐쇄$\Bbb Q$ 우리는 또한 그것을 다음과 같이 쓸 수 있기 때문에 $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, 비슷한 이유로 닫힙니다.
2는 다음과 같이 쓸 수 있으므로 닫힙니다. $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ 그리고 그 요소로 $2$그것의 내부 지점이 아니고 열려 있지 않습니다 .
3 미만의 세트는 2 미만과 똑같기 때문에 우리가 본 것처럼 실제로 닫혀 있으므로 경계 가 있기 때문에 컴팩트 할 수 있습니다. 하지만 사실은 그렇지 않습니다.$p$ 세트 "내"(말하다 $\sqrt{3}$ 할 것입니다) 그리고 일련의 합리성을 찾습니다. $q_n$ 수렴하는 세트에서 $p$ 현실에서 (이것은 항상 할 수 있습니다). 하지만 시퀀스$(q_n)_n$ Cauchy (결국 현실에서 수렴)이지만 수렴하지는 않습니다. $\Bbb Q$( 수렴 할 수 있는 유일한 지점 은 세트에 있지 않습니다). 따라서 세트는 컴팩트하지 않습니다. 그것이 압축되지 않은 더 깊은 이유는 (아마도 아직 다루지 않았을 것입니다) 미터법 공간에있는 컴팩트 셀 수있는 집합에는 격리 된 점이 있어야하고이 집합에는 아무것도 없습니다. 그러나 불완전 성 (또는 수렴 하위 시퀀스가없는 시퀀스가 있다는 관련 사실)은보다 기본적인 수준에서 압축성을 반박하는 데 사용될 수 있습니다.
4의 경우 모든 메트릭 공간에서 "$A$ 콤팩트 $\implies$ $A$폐쇄 및 경계; Heine-Borel은 다음 과 같은 하위 집합을 유지 하는 역 함축입니다.$\Bbb R^n$유클리드 메트릭에서. 그것의 "힘"은 콤팩트 함 을 빠르게 증명하는 것 입니다. 그러나 항상 유효한 의미는 간결함 을 쉽게 반박 하는 데 사용될 수 있으며 4는 예입니다. 제한되지 않으므로 비 압축은 모든 메트릭 공간에서 유효한 공제입니다.
세트 $A$ 메트릭 공간에서 모든 시퀀스에 비해 간결합니다. $A$ 한계가 속한 수렴 하위 시퀀스가 있습니다. $A$. 시퀀스$\{1,2,3,..\}$ 수렴 하위 시퀀스가없는 주어진 세트의 시퀀스이므로 4)의 세트는 압축되지 않습니다.
대안으로 다음과 같은 사실을 사용할 수 있습니다. $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ 유한 서브 커버가없는 세트의 오픈 커버입니다.