$\ell^1$ 유닛 볼 펑터에 인접한 왼쪽 펑터

Jan 07 2021

이 답변에 대한 의견

https://mathoverflow.net/a/38755/1106

최 예몬은 " $\ell^1$ functor는 무료 Banach 공간 펑터로 건망증 유닛 볼 펑터에 인접 해 있습니다. "

이 진술은 나에게 흥미롭지 만, 예몬이 여기서 말하는 카테고리와 펑터가 무엇인지 잘 모르겠습니다. 한쪽에는 Banach 공간 (어떤 맵이있는?) 범주가 있다고 생각하지만 다른 쪽은 어떻습니까? 누구든지 여기에 세부 사항을 기입 할 수 있다면 매우 기뻐할 것입니다. 또한 누군가가 이러한 관점을 취하는 기능 분석 텍스트에 대한 참조가 있다면 그 대답에도 만족할 것입니다.

답변

6 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 04:04

카테고리를 선택하고 싶습니다 $\text{Ban}_1$Banach 공간 및 짧은 맵 (연산자 표준의 선형 맵$\le 1$). 유닛 볼 펑터$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ 로 대표된다 $\mathbb{C}$, 그리고 그것의 왼쪽 adjoint는 세트를 보냅니다 $S$ 의 부산물에 $S$ 사본 $\mathbb{C}$, 이는 $\ell^1(S)$. 이것은 우리가 자연적인 bijection을 가지고 있다는 것을 말합니다.

$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$

세트의지도가 $S$ 단위 공에 $U(B)$ Banach 공간은 짧은지도로 독특하고 자유롭게 확장됩니다. $\ell^1(S) \to B$, "선형성"으로.

직관적으로 말하면 $\ell^1(S)$ 에서 얻은 $S$ 의 각 요소를 요구함으로써 $S$ 규범이있다 $1$ (유닛 볼에 있고 다른 유닛 볼의 다른 요소에 곧 매핑 할 수 있도록) 그런 다음 선형 조합을 요청합니다. $\sum c_s s$이것과 호환되는 가능한 가장 큰 표준을 갖습니다 (즉, 다른 Banach 공간의 다른 선형 조합에 곧 매핑 할 수 있습니다). 우리는$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ 삼각형 부등식과 $\ell^1$ 규범은 이것의 평등 사례입니다.

이 구조는 부산물의 구조로 일반화됩니다. $\text{Ban}_1$, 다음과 같이 표시됩니다. if $B_i$ Banach 공간의 모음입니다. $\text{Ban}_1$ 벡터 공간 직접 합계의 완성입니다. $\bigoplus_i B_i$ "와 관련하여$\ell^1$ 표준" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.

자기 홍보에 대해 사과드립니다. 그러나 저는의 범주 적 속성에 대해 좀 더 자세히 설명하겠습니다. $\text{Ban}_1$내 블로그 게시물 Banach 공간 (및 Lawvere 메트릭 및 닫힌 범주) 에서 (예 : 완전, 공동 완성 및 폐쇄 대칭 모노 이드 ) . 특히 저는 짧은지도를 사용하도록 동기를 부여하려고합니다. 제한된 선형 맵으로 만 작업하는 경우 범용 속성을 통해 등거리 변환까지 Banach 공간을 복구 할 수는 없지만$\text{Ban}_1$등각 투영입니다. 반면에 범주 형 언어는 닫힌 구조를 통해 경계지도에 대해 여전히 말할 수 있습니다.

5 YemonChoi Jan 07 2021 at 04:08

Bang (Ban, geometric)은 객체가 Banach 공간이고 형태가 표준을 갖는 선형 맵인 범주를 나타냅니다. $\leq 1$. (실수 또는 복합 스칼라에 대해 작업 할 수 있습니다.) 객체가 세트이고 형태가 함수 인 범주를 Set이라고합니다.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$

펑터가 있습니다 $\Ball$Bang에서 Set으로 각 Banach 공간에 폐쇄 된 단위 공을 할당합니다. Bang의 형태에 대한 조건은 각$f:X\to Y$ in Bang은 기능을 제한합니다. $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.

왼쪽은 무엇에 인접할까요? $\Ball$처럼? 쉼표 범주의 초기 개체 측면에서 설명 / 특성을 사용할 수 있습니다. 그래서 각 세트에 대해$S$ 우리는 Banach 공간을 원합니다 $F(S)$ 및 기능 $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ 다음과 같은 보편적 속성 : $E$ Banach 공간이고 $h:S\to \Ball(E)$ 함수이고, 독특한 Bang-morphism이 있습니다. $T: F(S)\to \Ball(E)$ 그런 $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ 기능으로.

다양한 형태의 정의 풀기 : 우리에게 필요한 것은 모든 기능에 대한 것입니다. $h$ ...에서 $S$ ...에 $E$ 만족스러운 $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ 모든 $j\in S$, 고유 한 선형지도가 있어야합니다. $T: F(S) \to E$ 그런 $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ 모든 $v\in F(S)$ 과 $T(\eta_S(j))=h(j)$ 모든 $j\in S$.

동기 부여를 시도한 후 Ansatz를 만들어 보겠습니다 . 밝히다$F(S)$ Banach 공간이 될 $\ell_1(S)$ 일반적인 규범으로 $\Vert\quad\Vert_1$; 허락하다$(e_j)_{j\in S}$ 표준 기반 bectors를 나타냅니다. $\ell_1(S)$. 선형지도의 유일한 후보$T:\ell_1(S) \to E$ is : 정의 $T(e_j):= h(j)$ 각각 $j$, 선형성과 연속성에 의해 확장됩니다. 이것이 작동하는지 확인하려면$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ 우리는

$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$

요약 : 본질적으로 위의 주장은 경계가있는 선형지도가 $\ell_1(S)$ Banach 공간으로 $E$ 제한된 함수를 정의 $S\to E$, 그리고 반대로 모든 경계 함수 $S\to E$ 고유 한 경계 선형 확장이 있습니다. $\ell_1(S)\to E$. (범주주의 언어가 아닌 분석가 언어로 언급 된이 단락은 모든 것이 표준을 갖도록 요구하지 않기 때문에 좀 더 일반적입니다.$\leq 1$; 그러나이 분석 사실에 대해 부가적인 언어로 된 멋진 진술을 얻으려면 Bang으로 제한하는 것이 필수적입니다.)

사실 우리는 더 나아가서 adjunction isomorphism이 $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$선험적으로 자연적으로 행동하는 집합의 bijection 인, Bang의 동 형사상을 강화할 수 있습니다. $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.