얼마나 적은 $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$ 삼각형은 정삼각형을 나눌 수 있습니까?
이것은 이미 많은 답변을 가진이 다른 게시물에 대한 병렬 질문 입니다.$(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$-유사한 삼각형은 정삼각형 (및 정육각형)의 유일한 중요하지 않은 유리 각도 타일링을 형성하며, 좌표 필드 (하위 필드의 하위 필드)를 모듈로 $\mathbf{Q}(\zeta_{60})$) 사이에서 변환 $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$-유사한 삼각형 및 $(6^\circ,60^\circ,114^\circ)$-비슷한 삼각형. (참조 : M. Laczkovich의 삼각형 타일링 .)
내 시도는 다음과 같습니다.
이후 $\sin(42^\circ)$ 과 $\sin(78^\circ)$ 중첩 된 라디칼이있는 경우 기본 타일링 단위를 $60^\circ$-삼각형 타일의 단일 행인 각진 이등변 사다리꼴 및 평행 사변형. 그들은 형태의 더 짧은 바닥 대 다리 비율을 가지고 있습니다.$$m\cdot\frac{9-3\sqrt{5}}{2}+n\cdot\frac{11-3\sqrt{5}}{2}\quad\left(m,n\ge 0\right)$$자동으로 대수 정수입니다. 이러한 사변형 단위에서 정삼각형의 잠재적 타일링은 위의 대수학의 정수 다항식 관계에 해당하며, 다항식 차수는 타일링의 사변형 조각 수와 상관 관계가 있습니다.
불행히도 위의 모든 대수학은 큰 규범을 가지고 있기 때문에 원하는 다항식에 대한 맹목적 검색은 불가능하며 조각의 비율을 다시 합리적으로 줄여야했습니다. 나는 찾을 수 있었다$60^\circ$-기저 대 다리 비율이 더 짧은 각진 이등변 사다리꼴 $10$ 사용 $79$ 타일 및 $60^\circ$인접 변의 비율을 가진 각진 평행 사변형 $11$ 사용 $80$타일. 따라서 몇 개의 타일은$60^\circ$-각진 마름모, 그리고 또 다른 몇 개의 타일은 $60^\circ$밑변 대 다리 비율이 더 짧은 각진 이등변 사다리꼴 $1$,이 중 세 개는 총계를 사용하여 정삼각형을 바둑판 식으로 배열합니다. $121\,170$삼각형 타일. 내가 거기에있는 동안 타일 수를 십만 개 미만으로 줄일 수있는 관련성이 적은 게시물 을 발견 했습니다 .
한편, 나는 또한 약 이하를 사용하여 정삼각형을 타일링하려는 몇 가지 개념적으로 간단한 구성을 통해 빠른 컴퓨터 검색을 수행했습니다. $50$ 타일, 나는 아무것도 발견하지 못했습니다.
약 10 만 개의 타일이 그런 타일링에 최적의 양이 아니라는 느낌이 들기 때문에 사람들이 더 나은 아이디어를 가지고 있는지 물어보고 있습니다. 병렬 포스트처럼 현금 인센티브를 제공 할 수는 없지만이 퍼즐을 시도하는 사람은 분명히 감사 할 것입니다.
RavenclawPrefect가 제안한 편집 :
내가 사용한 사변형 타일링 단위를 얻으려면 먼저 위에서 언급했듯이 라디칼의 중첩을 제거해야합니다. 같이$\mathbf{Q}(\zeta_{60})$ 갈루아는 끝났어 $\mathbf{Q}(\sqrt{3})$ (여기의 기본 필드는 $\mathbf{Q}$ 대신 정삼각형의 좌표 필드), 기하학적으로 길이를 구성 할 수 있다면 $\ell$ (또는 기술적으로 비율 $\ell$), 동일한 기하학적 구성을 수행 할 때 $42^\circ$ 각도 및 $78^\circ$ 서로 바뀐 각도, 우리는 여전히 동일한 $\ell$, 그런 다음 $\ell\in\mathbf{Q}(\sqrt{5})$, 그래서 $\ell$ 중첩 된 부수를 포함하지 않습니다.
몇 가지 아이디어가있었습니다. $\ell$구체적으로 말하면, 대부분은 사각형에 대한 평행 질문에서 모두 찾을 수있는 평행 아이디어 여야합니다. 나는 위에 정했다$\mathbf{Q}(\sqrt{5})$-사변형 (삼각형 타일의 단일 행인 것)은 분자 규범이 가장 작기 때문입니다. 비 예로서, 사용하는 이층 아이디어가 있었다$9$ 비율이 합리적 인 사다리꼴이 된 타일 $889-321\sqrt{5}$, 웩. 또한 삼각형이 단일 행에 배치 될 때 방향이 지정되어야하는 방식에 대한 사소한 부분도 있었지만 더 많은 계산을 통해 위의$(m,n)$형식은 우리가 실제로 얻는 전부입니다. 더 정확하게는 사다리꼴은$m=0$, 평행 사변형도 가질 수 없습니다. $n=0$.
그 모든 작업이 끝나면 나머지는 실제로 시행 착오의 문제였습니다. 모두 중에서$(m,n)$ 가장 작은 표준을 가진 평행 사변형을 선택했습니다. $(m,n)=(0,1)$ 평행 사변형 $4$ 타일을 만들고 회전시켜 $\frac{11+3\sqrt{5}}{38}$-평행 사변형. 그때$19$ 그 중 $\frac{11+3\sqrt{5}}{2}$-평행 사변형 $76$ 타일, 그리고 분명히 나는 그것을 결합 $(1,0)$-사다리꼴 및 $(0,1)$-합리적 사변형에 도달하기위한 평행 사변형.
그래서 그 과정은 "나는 잠재적 인 단순화를 보지만 최적의 것을 모른다"보다는 "솔직히 무엇을 해야할지 모르겠다"와 비슷했다. 또한 광장에 대한 병렬 질문에서 찾을 수없는 완전히 새로운 아이디어 (위 참조)를 찾고있는 이유이기도합니다.
RavenclawPrefect는 또한 동일한 타일링을 수행 할 수 있지만 일치하는 타일로 수행 할 수 있는지에 대해 의욕적 인 질문을했습니다. M. Laczkovich는 Congruent Triangles가있는 Convex Polygons의 Tilings 후속 논문에서 이것이 불가능하다는 것을 증명했습니다 .
답변
내가 사용하는 기술이 이전 답변과 크게 다르고 이미 꽤 길어지기 때문에이 질문에 대한 새로운 답변을 게시하고 있습니다. (이 답변의 대부분은 Anders의 우수한 답변 이전에 작성되었으므로 거기에 대한 근거를 다시 읽습니다.)
우선,이 다이어그램을 보는 것이 도움이되었으므로 OP에 설명 된 구성을 더 잘 구체화하고 싶습니다. 비율의 평행 사변형 정의$r$ 측면과 하나로 $1,r,1,r$ 순환 순서 및 비율의 사다리꼴 $r$ 측면과 하나로 $1,r,1,r+1$주기적으로. (나는 모든 것이$60^\circ$ 과 $120^\circ$ 달리 명시되지 않는 한 모든 사다리꼴은 이등변입니다.)
다음은 비율의 이등변 사다리꼴입니다. $\frac{9-3\sqrt{5}}2$ 3 개로 만든 $\color{blue}{42}-\color{green}{60}-\color{red}{78}$ 삼각형 :
다음은 비율의 평행 사변형입니다. $1$ 네 개의 삼각형으로 만든 더 큰 (동일한 밑면으로) :
( 이전 구성에 삼각형을 추가하여 주어 지지 않는다는 점에 유의하십시오 ! 그러나 아래쪽 세 점은 동일한 위치에 있습니다.)
Edward H가 관찰 한 것처럼 실제로 위의 두 평행 사변형 중 하나를 확장 할 수 있습니다.$60$-빨간색과 파란색 각도 만 만나는 모서리 사이의 평행 사변형도; 이것은 우리가 보낼 수 있습니다$2$ 사다리꼴과 평행 사변형 비율을 만들기위한 더 많은 삼각형 $\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$ 더.
자, 몇 가지 관찰 :
비율의 평행 사변형 $r$ 또한 비율의 평행 사변형입니다. $1/r$: 그냥 옆으로 돌리세요!
두 개의 평행 사변형 비율이 주어짐 $r,s$, 우리는 그것들을 합쳐서 비율의 평행 사변형을 얻을 수 있습니다. $r+s$.
비율의 사다리꼴이 주어지면 $r$ 및 비율의 평행 사변형 $s$, 우리는 그것들을 합쳐서 비율의 사다리꼴을 얻을 수 있습니다. $r+s$.
두 개의 사다리꼴 비율이 주어짐 $r,s$, 우리는 그들 중 하나를 거꾸로 뒤집은 다음 합쳐서 비율의 평행 사변형을 얻을 수 있습니다 $r+s+1$ (상단이 하단보다 한 단위 짧기 때문에).
두 개의 사다리꼴 비율이 주어짐 $r,s$, 우리는 비율의 평행 사변형을 얻기 위해 다른 것 위에 하나를 놓을 수 있습니다 $rs/(r+s+1)$.
이것은 우리에게 확실한 경로를 제공합니다. 두 가지 기본 사다리꼴 및 평행 사변형 솔루션 (확장 포함)으로 시작한 다음 위의 방법으로 결합하여 멋진 합리적 비율 사다리꼴 및 평행 사변형의 작은 타일링을 찾아서 우리가 잘 할 수있는 세트를 찾을 때까지 찾습니다. 정삼각형을 채 웁니다.
다음 요소로 정확한 계산을 수행하기 위해 코드를 작성했습니다. $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, 모든 사다리꼴과 평행 사변형을 저장하기 시작했습니다. $70$삼각형, 그러나 검색 공간이 너무 멀어지는 것을 방지하기 위해 관련된 유리수의 크기를 제한합니다. (비율의 평행 사변형이 있다면$1173/292-46\sqrt{5}/377$, 나는 아마 그것을 필요로하지 않을 것입니다.)
이것만으로는 합리적 비율 모양이 많이 나오지 않으므로 이전 반복에서 생성 된 모든 모양 중에서 비합리적인 부분이 서로의 네거티브 인 모양을 확인하고 새 모양으로 결합하는 두 번째 스크립트를 실행했습니다. 합리적인 비율 모양.
이 검색의 결과에는 단위 비율의 평행 사변형에 대한 Anders Kaseorg의 72 삼각형 솔루션을 포함하여 많은 흥미로운 구성이 포함되었지만 우리의 목적을 위해 다음 두 가지에 집중할 수 있습니다. $94$비율의 타일 사다리꼴 $12/5$, 및 $100$비율의 타일 사다리꼴 $17/7$.
첫 번째 사다리꼴의 바닥이 두 번째 사다리꼴의 윗면과 일치하도록 서로 겹쳐 놓으면 사다리꼴로 만들어진 사다리꼴을 형성합니다. $194$ 하단베이스가 상단베이스의 두 배인 삼각형-정확히 우리의 목표입니다.
전체 구조를 보여주기 위해 여기에 모두 $3\cdot(94+100)=\textbf{582}$ 한 조각의 삼각형 :
OP에서 사용할 수 있다는 사실을 사용하고 있습니다. $79$ 측면 길이의 사다리꼴 타일을 만드는 삼각형 $11,1,10,1$ 및 각도 $60$ 과 $120$ 각도 및 측면 길이가있는 평행 사변형 $1$ 과 $11$ 와 $80$삼각형. 이것은 우리가 "다이아몬드"(가장자리로 연결된 두 정삼각형의 합집합)를$11\cdot80=880$ 삼각형.
그런 다음이 모든 조각을 삼각형 격자에 맞출 수 있습니다. 사다리꼴이 $21$ 삼각형, 마른 평행 사변형 $22$, 다이아몬드 모양의 영역은 $2$(그러나 큰 비용). 물론, 그들 중 어떤 것도 정수 인자에 의해 확장 될 수 있으며 여전히 그리드에 있습니다.
타일링 문제와 수동 수정을 해결하기 위해 작성한 일부 코드를 사용하여 다음과 같은 이등변 사다리꼴의 밑변 대 다리 비율을 발견했습니다. $1$ (이 경우 삼각형 격자에서 $12$ 각 차원에서) :
그것은 사용합니다 $12$ 사다리꼴 및 $19$다이아몬드 (다양한 크기의 후자). 따라서이 모양의 세 복사본으로 정삼각형을 바둑판 식으로 배열하면$3\cdot(12\cdot79+19\cdot880)=\textbf{53004}$ 타일.
nickgard에 의해 편집 :
동일한 사다리꼴의 작은 타일링$10$ 긴 사다리꼴 및 $12$ 다이아 패 한 벌.
$3\cdot(10\cdot79+12\cdot880)=\textbf{34050}$ 타일.
(편집 끝)
편집 (RavenclawPrefect) : 평행 사변형을 타일링하는 몇 가지 개선 된 방법을 발견했습니다.이 방법은 nickgard의 솔루션과 함께 사용하여 숫자를 더 줄일 수 있습니다.
다음은 타일링입니다. $1\times 2$ 7 개의 평행 사변형 $1\times 11$ 평행 사변형 ( $22$ 두 개의 마름모를 함께 결합하면됩니다) :
일반적으로 하나는 $1\times n$ 평행 사변형 $n=1,\ldots,9$ 와 $11,7,6,6,6,6,6,6,7$마른 평행 사변형; 이러한 값은 타일링에서 발생합니다.$11\times n$사각형을 정사각형으로 만들고 ( OEIS의 A219158 참조 ) 적절한 아핀 변환을 적용합니다.
에 대한 $1\times 7$, 사용 $6$ 마른 평행 사변형은 우리에게 $6\cdot 80$, 그러나 우리는 또한 사용할 수 있습니다 $6$ 이 답변에 대한 Edward H의 의견에 설명 된 사다리꼴 $6\cdot 79$ 약간의 개선을 제공하는 타일.
이보다 효율적인 패킹을 사용하여 다음과 같이 nickgard의 답변에서 "계단"모양을 채울 수 있습니다.
이것은 총을 사용합니다 $4874$ 계단의 타일, $4874+10\cdot79 = 5664$ 사다리꼴에서 $\textbf{16992}$ 삼각형에서.
편집 2 (RavenclawPrefect) : "계단"모양을 멋진 축 정렬 평행 사변형으로 분해하는 작업을 많이 한 후, 아핀 변환을 적용하여 전체 계단을 매우 큰 폴리오 미노 크기로 바꿀 수 있다는 것을 깨달았습니다.${10\choose 2}\cdot 11=495$ 높이의 "단계" $11$, 결과물을 사각형으로 직접 타일링하십시오.
이로 인해 상당한 개선이 이루어졌으며 $46$ 사각형 (따라서 $1\times 11$다시 변환 된 평행 사변형; 결과 이미지는 높이로 인해 잘 포함되지 않지만 여기 에 imgur에 업로드했습니다 . 업데이트 : 이 타일링을 약간 개선했습니다.$45$여기 에서 본 정사각형 솔루션 .
결과 $3\cdot(45\cdot80+10\cdot79)=\textbf{13170}$ 타일.
이것이 개선 될 수있는 방법 :
이것의 더 나은 포장을 시도 $495$-오 미노 by squares-내 검색은 완전하지 않았고 적어도 $30\%$ 더 효율적으로 타일링 할 수 있습니다.
이러한 동일한 방법으로 사다리꼴 또는 정삼각형의 더 나은 패킹을 찾는 중-나는 확실히 할 수있는 한 많이 최적화하지 않았습니다.
이 타일링에 사용 된 시드 모양 중 하나의보다 효율적인 "기본"패킹을 찾거나 효율적으로 타일링 할 수있는 비교적 단순한 새로운 폴리이 아몬드 생성 $42-60-78$ 삼각형.
여기 사다리꼴 비율이 있습니다. $1$ 타일링 $195$무차별 대입 검색에서 발견 된 삼각형. 이 세 가지를 사용하여 정삼각형을 만들려면$3 \cdot 195 = \mathbf{585}$ 삼각형.
이전 답변
이 기본 $60^\circ$ 비율의 사다리꼴 $\frac{9 - 3\sqrt 5}{2}$ 세 개의 삼각형을 사용합니다. $60^\circ$ 비율의 평행 사변형 $\frac{11 - 3\sqrt 5}{2}$ 네 개의 삼각형을 사용합니다.
임의의 숫자 $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$ 분해 될 수있다 $r = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}u + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}v$ 와 $u, v \in \mathbb Q$. 만약$u, v \ge 0$, 그런 다음 비율의 평행 사변형을 타일링 할 수 있습니다. $r$ 비율 사각형 타일링의 아핀 변환을 결합하여 기본 평행 사변형 사용 $u$ 과 $v$사각형을 사용합니다. 예를 들어, 다음은 비율의 72 개 삼각형 평행 사변형입니다.$1 = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}\cdot\frac{1}{11} + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}\cdot\frac{19}{11}$, 정사각형 타일링에서 파생 $1 × 11$ 과 $19 × 11$ 직사각형.
이 아이디어를 "계단"구조의 버전에서 사용하면 비율의 사다리꼴 타일링이 훨씬 더 효율적으로 생성됩니다. $1$. 여기에$45 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 44 \cdot 4 = 386$삼각형. (나는 이제 녹색 영역과 파란색 영역을 평행 사변형으로 분할하는 대신 한 번에 하나씩 타일링하는 동적 프로그래밍 알고리즘을 사용하고 있습니다. 명확성을 위해 기본 사다리꼴 / 평행 사변형을 3/4 삼각형으로 나누는 것은 그림에 나와 있지 않습니다.)
이 세 가지를 사용하여 정삼각형을 만들려면 $3 \cdot 386 = \mathbf{1158}$ 삼각형.
아마도 더 효율적인 타일링은 단일 평행 사변형이 남을 때까지 정삼각형에서 약간의 기본 사다리꼴을 임의적으로 잘라내어 비율을 계산하여 구성 할 수 있습니다. $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$, 위의 직사각형 타일링 구성을 한 번 적용합니다. 이렇게하는 방법을 찾는 중$u, v \ge 0$ 그래도 예상보다 까다로 웠습니다.