어떻게 계산할 수 있습니까? $\lim _{x\rightarrow 1}\; \frac{\root {m} \of {x}-1}{\root {n} \of {x}-1}$L' Hospital의 법칙을 사용하지 않고?
이 제한을 대체로 계산하려고합니다. $\lim _{x\rightarrow 1}\; \frac{\root {m} \of {x}-1}{\root {n} \of {x}-1}$
나는 곱하기 시작했습니다. $\frac{\root{n} \of {x}}{\root{n} \of {x}}$ $\to$ $\lim _{x\rightarrow 1}\; \frac{\root {mn} \of {x^{n+m}}-\root{n} \of {x}}{\root {n} \of {x^2}-\root{n} \of {x}}$
그런 다음 대체 $\root{mn}\of{x}$ 와 $t$, 그래서 나는 $x=t^{mn}$ 와 $\lim _{x\rightarrow 1}\;\root{mn}\of{x}=1$
$\lim _{t\rightarrow 1}\;\frac{t^{n+m}-\root{n} \of {t^{mn}}}{\root{n} \of {t^{2mn}}-\root{n} \of {t^{mn}}}$ $\to$ $\lim _{t\rightarrow 1}\;\frac{t^{n+m}-t^m}{t^{2n}-t^m}$ $\to$ $\lim _{t\rightarrow 1}\;\frac{t^m(t^n-1)}{t^m(t^m-1)}$ $\to$ $\lim _{t\rightarrow 1}\;\frac{t^n-1}{t^m-1}$
$\lim _{t\rightarrow 1}\;\frac{t^n-1}{t^m-1}$ $\to$ $\lim _{t\rightarrow 1}\;\frac{(t^{n-1}+t^{n-2}+...+t^1+t^0)}{(t^{m-1}+t^{m-2}+...+t^1+t^0)}$
그래서 우리가 넣으면 $1$ 우리는 얻을 것이다 $\frac{n*1}{m*1}$ 그것은 $\frac{n}{m}$
이게 옳은 거니?
감사
답변
나는 당신이 정체성을 사용하는 것이 좋습니다 $$ t^N-1=(t-1)\sum_{k=0}^{N-1}t^{k} $$ 따라서 설정하여 $x=t^{mn}$ 우리는 그것을 얻습니다 $t\to1$ 같이 $x\to1$. 따라서$$ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1} =\lim_{t\to1}\frac{\sqrt[m]{t^{mn}}-1}{\sqrt[n]{t^{mn}}-1} =\lim_{t\to1}\frac{t^n-1}{t^m-1}\\ =\lim_{t\to1}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}t^{k}}{\sum_{k=0}^{m-1}t^{k}} =\frac{\sum_{k=0}^{n-1}1}{\sum_{k=0}^{m-1}1} =\frac{n}{m} $$
이항 확장
$\lim_{x\to1}\frac{x^{1/m}-1}{x^{1/n}-1}$= $ \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)^{1/m}-1}{(1+h)^{1/n}-1}$= $ \lim_{h\to 0} \frac{1+\frac{h}{m}+ O(h^2)-1}{1+\frac{h}{n}+O(h^2)-1}$
= $ \lim_{h\to 0} \frac{\frac{h}{m}+ O(h^2)}{\frac{h}{n}+O(h^2)}$ = $ \lim_{h\to 0} \frac{h(\frac{1}{m}+ O(h))}{h (\frac{1}{n}+O(h))}= \frac{n}{m}$
$O(h^2)$= 다른 용어는 다음을 포함합니다. $h^2$ 그리고 더 높은 힘
훨씬 더 간단한 접근 방식입니다. 허락하다$y=x-1$. 그러면 표현은$\frac{\sqrt[m]{y-1}-1}{ \sqrt[n]{y-1}-1}=\frac{1+\frac{y}{m}+...-1}{1+\frac{y}{n}+...-1}\to \frac{n}{m}$ 같이 $y\to 0$.
참고 $m$ 과 $n$ 정수일 필요는 없습니다.
세트 $x=e^y$, 고려 $y \rightarrow 0.$
$f(y):=\dfrac{e^{y/m}-1}{e^{y/n}-1}=$
$\dfrac{1+y/m+O((y/m)^2)-1}{1+y/n+O((y/n)^2) -1}.$
한계를 가져라.