어떻게 $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ 단조 수렴 정리에서 따릅니 까?
Rudin의 Real and Complex 분석에서 그는 평등이
$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$
...에 대한 $a_{i,j} \ge 0$ 다음은 단조 수렴 정리의 추론을 따른다 (카운팅 세트에 대한 계수 측정을 통해).
만약 $f_n: X \to [0, \infty]$ 측정 가능하고 $f = \sum f_n$, 다음
$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$
그러나 나는 이것을 보는 데 어려움을 겪고 있습니다. 셀 수있는 집합의 각 지점에 대해 표시기 함수를 사용한다고 생각하지만 사실을 만들기위한 명백한 조작이 보이지 않습니다. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
허락하다 $X=\mathbb N$ 과 $S$ 힘의 집합 $X$. 허락하다$\mu$ 계산 방법 $X$. [$\mu(E)$ 포인트의 수입니다 $E$ 그것은 $+\infty$ 만약 $E$ 무한 세트입니다].
모든 기능 $g: X \to [0,\infty)$ 우리는 $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.
이제 가져가 $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. 그때$f_n$ 기능 증가 $f$ 정의 $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. 그 후$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. 이것은 준다$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.