어떤 유형의 확률 적 프로세스가 만족하는지 $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ 모든 $t,s \in \mathbb R^+$?

Nov 24 2020

허락하다 $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$$L^2$확률 적 과정. 그것은 무엇에 대해 말합니까$X$ 만약 $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ 모든 $t,s \in \mathbb R^+$? 그것은 무엇에 대해 말하는$X$ 만약 $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ 모든 $t,s \in \mathbb R^+$ ?

위의 사항 중 하나를 충족하는 특별한 종류의 프로세스가 있습니까?

이제 우리는 같은 질문을 반복하지만 $X$가우스 과정입니다. 새로운 것을 배우나요?

답변

1 LeanderTilstedKristensen Nov 24 2020 at 08:12

$s=t$ 조건은 $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ 어떤 힘, 그 $Var(X_s)=1$ 모든 $s$. 따라서$$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ 즉, $X_s$$X_t$ 이다 $1$ 모든 $s$$t$, 따라서 $X_t$ 거의 확실하게 다음의 선형 함수입니다. $X_s$, 그건 $$X_t = aX_s + b$$ 일부 $a$$b$. 공분산 조건에서 분명합니다.$a=1$ 그리고 우리는 $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$. 따라서 우리는$$X_t = X_0 + f(t),$$ 어디 $f(t)$ 결정 론적 함수 $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$. 또한 다음과 같이 정의 된 모든 프로세스$X_t := X_0 + f(t)$$Var(X_0)=1$$f$ 임의의 함수는 주어진 조건을 만족합니다.