음이 아닌 독립 확률 변수의 합에 대한 확률 부등식

Aug 17 2020

가정 $X_i$, $i \in \mathbb{N}$ 독립 이진 확률 변수입니다. $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ 정의 $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$. 나는 모든 것을 증명하고 싶다.$x > 0$, 우리는 $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$

나는 이것을 할 수있다 $x \in (0,1]$ 기능이 $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ 오목하다 $x$ 이 범위에서 우리는 $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$

마지막 불평등을 얻기 위해 Jensen의 불평등을 적용합니다. 나는 이것을 바로 잡으려고 노력하는 것을 잃었다.$x > 1$. Jensen을 다시 적용 할 수 없습니다.$f(y)$ 이제 볼록합니다 $x \in (1, \infty)$그래서 우리는 완전히 다른 전략이 필요합니다. 이것이 옳은 생각인지는 모르겠지만 확률에 대한 표현을 정확히 적을 수 있습니다.$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$나는 이것에서 유익한 것을 볼 수 없습니다. 어떤 도움이라도 대단히 감사하겠습니다!

답변

4 StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 06:06

가정 $x > \mu$, 왜냐하면 $x \le \mu$, 그러면 오른쪽이 $1$.

나는 번스타인의 불평등의 증거를 따릅니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)

어떠한 것도 $ \theta > 0$, 우리는 $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ 지금 $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ 그래서 $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ 세트 $\theta = \log (x/\mu)$.