Frobenius 상호성 이해
나는 다음 제안의 증거를 이해하려고 애 쓰고 있습니다.
허락하다 $\pi$ 축약 할 수없는 표현이다 $G=GL_2$. 그러면 다음은 동일합니다.
- $\pi$ 다음의 부분 공간과 동일합니다. $Ind_B^G \chi$ 캐릭터 $\chi$ 의 $T$ ;
- $\pi$ 사소한 문자를 포함 $N$.
여기에서는 일반적인 표기법을 사용합니다. $B$ 상부 삼각 행렬의 표준 Borel, $N$ 단 분화능 상부 삼각 행렬 및 $T$ 대각선 행렬의 토러스.
이것은 Frobenius Reciprocity의 단순한 결과라고 언급되었지만, 그것이 어디에서 작동하는지 이해하지 못합니다.
답변
유한 그룹과 그 복잡한 표현에 대해 이야기하고 있다고 가정합니다.
Frobenius 상호성에 의해 우리는 $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$
. 우리는 또한 $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$
이것이 주장을 증명 한다는 것을 알고 있습니다.
당신이 설명하는 것은 Harish-Chandra 유도 및 제한입니다. 만약$\psi$ 의 캐릭터입니다 $T$, 쓰기 $R_T^G(\psi)$ ...에 대한 $\psi$ 부풀려 $B$, 그리고 유도 $G$. 반면에$\chi$ 의 캐릭터입니다 $G$, 쓰기 ${}^*R_T^G(\chi)$ 로 제한하여 처음 얻은 캐릭터에 대해 $B$, 그런 다음 단능 하위 그룹에 의해 고정 된이 공간의 부분 공간을 가져옵니다. $U$. 이것은 자연스럽게 캐릭터가됩니다.$T$.
Frobenius recpirocity, 모든 캐릭터에 적용 $G$ 및 모든 문자 $T$, 수익률 $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. 이 알림을 보려면 HC 제한에서 토러스에서 팽창되지 않은 모든 문자를 무시하고 있습니다. 그러므로$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ 어디 $\downarrow$ 표준 제한입니다.
반면에 HC 유도는 단순히 Borel의 표준 유도이지만 특정 캐릭터에만 적용됩니다. 이 경우$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. 따라서 Frobenius 상호성은 증명을 완료합니다.
만약 $\pi$ 사소한 문자를 포함 $N$, 다음 $\pi$ (의 인플레이션) $T$ 제한적으로 $B$. 따라서 Harish-Chandra 제한은 0이 아닙니다. 허락하다$\chi$그것의 구성 요소 중 하나입니다. 그런 다음 HC 유도$\chi$ 포함해야합니다 $\pi$ 위의 진술로.