$G_2$ 사영 공간의 Isometries 그룹으로
단순한 복잡한 거짓말 대수의 분류에서 모든 거짓말 대수는 투영 공간의 등거리 그룹에 해당하는 것처럼 보입니다. SO (n + 1)은$RP^n$, SU (n + 1)은 $CP^n$, 그리고 SP (n + 1)은 $HP^n$.
John Baez는 옥 토니 언에 대한 자신의 과정 에서 예외적 거짓말 그룹은 거짓말 대수의 매직 스퀘어에서 볼 수 있듯이 옥 토니 언으로 구성된 투영 공간에 대한 등거리 그룹이라고 설명합니다. 1
$G_2$는이 설명에서 제외 된 유일한 예외적 거짓말 그룹이며 일반적으로 Octonians의 automorphisms 그룹으로 설명됩니다. 좋지만 패턴을 따르면 그것은 여러 가지의 isometries 그룹이어야합니다. 이 다양체가 무엇인지 알고 있습니까?
답변
댓글이 너무 길지만 완전한 답변은 아닙니다.
다음과 같은 유명한 실현이 있습니다. $G_2$ '반경의 3 배의 다른 공 위로 구르는 공'의 대칭 그룹으로.
그게 무슨 뜻인지 잘 모르겠지만, 두 개의 공의 가능한 모든 구성에 대한 합리적인 매개 변수화를 발명 할 때마다 그의 물건이 다양한 구조를 가지고 있다는 것을 스스로 확신하는 것은 어렵지 않습니다. 아마도이 다양체는$G_2$대칭. 반면에 이것은 단지 두 개의 공이 닿는 것입니다. 롤링이라는 개념이 더 심각한 역할을한다면, 스토리가 다양한 형태로 재구성 될 수 있는지, 그리고 어떻게 재구성 될 수 있는지는 명확하지 않습니다.
그러나 좋은 출발점은 Google '$G_2$ 롤링 볼 '또는 이와 유사한 것을보고 무엇이 나타나는지보십시오.
편집 : 위키 백과의이 인용문 (페이지 $G_2$) 꽤 많이 설명합니다.
1893 년 Élie Cartan은 $\mathbb{C}^5$ 2 차원 분포, 즉 접선 공간의 2 차원 부분 공간의 매끄럽게 변하는 필드를 갖추고 있습니다. $\mathfrak{g}_{2}$극소 대칭으로 나타납니다. [2] 같은 해 같은 저널에서 엥겔은 같은 사실을 발견했습니다. 나중에 2 차원 분포가 다른 공을 굴리는 공과 밀접한 관련이 있음이 발견되었습니다. 롤링 볼의 구성 공간은 5 차원으로, 공이 미끄러지거나 비 틀리지 않고 구르는 동작을 설명하는 2 차원 분포를 사용합니다.