가치 $a$ 그런 $x^5-x-a$ 2 차 요인이 있음
모든 정수를 찾고 싶습니다. $a$ 그런 $x^5-x-a$ 2 차 요소가 있습니다. $\mathbb{Z}[x]$.
나의 시도
허락하다 $x^5-x-a=(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)$, 그래서 우리는 다음을 갖습니다 :
$$\begin{array}{rcl} b+d&=&0\\ e+bd+c&=&0\\ f+be+cd&=&0\\ bf+ce&=&-1\\ cf&=&-a \end{array}$$
그 후:
$$\begin{array}{rcccl} d&=&-b\\ e&=&-bd-c&=&b^2-c\\ f&=&-be-cd&=&-b^3+2bc \end{array}$$
그리고 우리는 :
$$1=-bf-ce=b^4-3b^2c+c^2,$$
그래서:
$$(2c-3b^2)^2=5b^4+4.$$
질문
모든 가치를 어떻게 찾을 수 있습니까? $n$ 그런 $5n^4+4$ 완벽한 정사각형입니까?
나의 시도
만약 $m^2=5n^4+4$, 다음 $m^2-5n^4=4$.
만약 $m=2m_*$, 다음 $n$ 짝수이므로 $n=2n_*$, 그리고 우리는 방정식이 있습니다 $m_*^2-20n_*^4=1$. Pell 방정식으로$(a,b)=(9,2)$ 가장 사소하지 않은 솔루션입니다. $a^2-20b^2=1$이면 일반 솔루션의 형식은 $(a_n,b_n)$ 어디 $a_n+b_n\sqrt{20}=(9+2\sqrt{20})^n$,하지만 어떤 값을 찾는 방법을 모르겠습니다. $n$ 하다 $b_n$ 정사각형.
답변
짧은 버전 : in $w^2 - 5 v^2 = 4,$ 숫자들 $v$ 가장 큰 완전 제곱은 피보나치 수입니다. $144$
보시다시피, "v"숫자는 대체 피보나치 숫자이고 "w"는 Lucas입니다. 참조를 찾아 보겠습니다. 가장 큰 제곱 피보나치 수는 144입니다.$n$ 그러므로 $12,$ 당신의 $m=322$
COHN 1963
음. 다음은 2 차 형태에 대한 Conway 지형도입니다.$x^2 - 5 y^2.$ 이것은 모든 솔루션의 $x^2 - 5 y^2 = 4$ 초기 쌍에 의해 생성됨 $$ (2,0) , (3,1) , ( 7,3), (18,8), (47,21), 123,55), (322,144), (843, 377) $$ 재귀 $$ x_{n+6} = 18 x_{n+3} - x_n $$ $$ y_{n+6} = 18 y_{n+3} - y_n $$
이것들은 Cayley-Hamilton에서 온 $$ \left( \begin{array}{cc} 9&20 \\ 4&9 \end{array} \right) $$
더 많은 작업을 통해 보간 할 수 있음을 알 수 있습니다. $$ x_{n+2} = 3 x_{n+1} - x_n $$ $$ y_{n+2} = 3 y_{n+1} - y_n $$
보자, 대체 피보나치 수에 대한 Binet 설명의 비이성적 인 것은 다음과 같습니다. $$ \frac{3 \pm \sqrt 5}{2}, $$ 동안 $$ \left(\frac{3 \pm \sqrt 5}{2} \right)^3 = 9 \pm 4 \sqrt 5 $$ 어디 $9 \pm 4 \sqrt 5$ 비넷 번호는 $\lambda^2 - 18 \lambda + 1 =0$
Conway의 지형도에 대한 리소스
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf (콘웨이)
https://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf (해처)
http://bookstore.ams.org/mbk-105/ (바이스만)
http://www.springer.com/us/book/9780387955872 (여전히 잘)
2 차 디오 판틴 방정식의 해 생성
다이어그램
또 다른 2 차 디오 판틴 방정식 : 어떻게 진행합니까?
솔루션을 찾는 방법 $x^2-3y^2=-2$?
2 차 디오 판틴 방정식의 해 생성
Alpertron이이 Pell과 같은 방정식을 풀 수없는 이유는 무엇입니까?
Pell 유형 방정식의 모든 해 찾기 $x^2-5y^2 = -4$
만약 $(m,n)\in\mathbb Z_+^2$ 만족하다 $3m^2+m = 4n^2+n$ 그때 $(m-n)$ 완벽한 정사각형입니다.
이진 형식을 푸는 방법 $ax^2+bxy+cy^2=m$, 정수 및 유리 $ (x,y)$ :::: 69 55
방정식에 대한 모든 정수 솔루션 찾기 $|5x^2 - y^2| = 4$
양의 정수 $n$ 그런 $2n+1$ , $3n+1$ 둘 다 완벽한 제곱입니다
원시 벡터와 Conway의 강지도, SAGE에서 만든 사람이 있습니까?
무한히 많은 시스템 $23$ 연속 정수
x와 y에 대해 다음 방정식을 풉니 다. <1, -1, -1>
형식의 정수 찾기 $3x^2 + xy - 5y^2$ 어디 $x$ 과 $y$ 산술 진행을 통해 다이어그램을 사용하여 정수입니다.
작은 적분 표현 $x^2-2y^2$ Pell의 방정식에서
방정식 풀기 $ x^2-7y^2=-3 $ 정수 이상
Diophantine 방정식에 대한 솔루션
이 방정식의 근이 정수임을 증명하는 방법은 무엇입니까?
Pell과 같은 방정식이 $X^2-dY^2=k$ 다음과 같은 간단한 재귀가 있습니다. $X^2-dY^2=1$?
http://math.stackexchange.com/questions/1737385/if-d1-is-a-squarefree-integer-show-that-x2-dy2-c-gives-some-bounds-i/1737824#1737824 "씨앗"
모든 자연수 찾기 $n$ 그런 $21n^2-20$ 완벽한 정사각형입니다.
다음과 같은 간단한 증거가 있습니까? $(b-a)(b+a) = ab - 1$, 다음 $a, b$피보나치 수 여야합니까? 1,1, -1; 1,11
모든 통합 솔루션을 찾으려면 $3x^2 - 4y^2 = 11$
철자와 같은 방정식을 어떻게 풀까요?
디오 판틴 방정식 $x^2 + xy − 3y^2 = 17$ <1,1, -3>
jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental
Automorphism matrix:
9 20
4 9
Automorphism backwards:
9 -20
-4 9
9^2 - 5 4^2 = 1
w^2 - 5 v^2 = 4 = 2^2
Thu Nov 19 10:06:08 PST 2020
w: 2 v: 0 SEED KEEP +-
w: 3 v: 1 SEED KEEP +-
w: 7 v: 3 SEED BACK ONE STEP 3 , -1
w: 18 v: 8 SEED BACK ONE STEP 2 , 0
w: 47 v: 21
w: 123 v: 55
w: 322 v: 144
w: 843 v: 377
w: 2207 v: 987
w: 5778 v: 2584
w: 15127 v: 6765
w: 39603 v: 17711
w: 103682 v: 46368
w: 271443 v: 121393
w: 710647 v: 317811
w: 1860498 v: 832040
w: 4870847 v: 2178309
w: 12752043 v: 5702887
Thu Nov 19 10:06:37 PST 2020
w^2 - 5 v^2 = 4 = 2^2
이것은 본질적으로 타원 곡선입니다.
기본 방법이있을 수 있지만, 이러한 종류의 디오 판틴 방정식을 풀 수있는 컴퓨터 대수 시스템도 있습니다.
방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. $m^2n^2 = 5n^6 + 4n^2$.
우리가 쓰면 $y = 5mn$ 과 $x = 5n^2$, 그러면 $y^2 = x^3 + 20x$.
이제 Sage를 사용하여이 곡선의 모든 정수 점을 찾습니다. 다음 코드를 이 사이트에 붙여넣고 "평가"를 누르십시오.
EllipticCurve([20, 0]).integral_points()
출력 :
[(0 : 0 : 1), (4 : 12 : 1), (5 : 15 : 1), (720 : 19320 : 1)]
우리는 해당 값이 $(m, n)$ 아르 $(2,0), (3,1), (322,12)$, 각각 (음수 값은 나열되지 않음).
또 다른 방법은 $x ^ 5-x-a$ 임의의 삼항식으로 $x ^ 2 + bx + c$나머지는 0으로 설정합니다. 이것은 나머지를 준다$$(c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1) x + (cb ^ 3-2bc ^ 2-a) = 0$$ 우리가있는 곳에서 $a = cb (b ^ 2-2c)$ 과 $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$.
이것은 모든 솔루션에 대해 $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ 우리는 상응하는 가치가 있습니다 $a = cb (b ^ 2-2c)$.
일부 솔루션 $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ 아르 $(b,c)=(1,3),(0,1),(12,55),(12,377)$.
예 .-$(b,c)=(1,3)$ 준다 $a=-15$ 그리고 우리는 $$x^5-x+15=(x^2+x+3)(x^3-x^2-2x+5)$$ $(b,c)=(12,377)$ 준다 $a=-2759640$ 그리고 우리는 $$x^5-x+2759640=(x^2+12x+377)(x^3-12x^2-233x+7320)$$