각 측면의 트랙에 고정 된로드의 한쪽 끝의 선형 및 각속도를 결정하는 방법은 무엇입니까?
저는 양쪽 끝에 고정 된 막대의 한쪽 끝의 속도를 두 개의 다른 트랙으로 결정하려고 노력하고 있습니다. 한 트랙은 선형이고 고정 된 끝은 알려진 값을 갖습니다. 다른 쪽은 값을 알 수없는 원형 트랙에 고정되어 있습니다.
나는 내가 사용하는 동안 각속도를 먼저 얻으려고 시도했습니다. $$ V_B=V_A+V_{B/A} $$
사용하여 $$ \omega = v/r $$
나는 또한 $ V_{B/A} $ 나는 찾아야한다 $ \dot\theta $ 이것은 $ \omega $
$ V_{B/A} $ 방정식이 $$ (\dot\theta\hat k) \times I*(cos\theta\hat i - sin\theta\hat j) $$
나는 찾기에 갇혀있다 $\theta$ 또는 $ V_{B/A}$ 답을 얻으려면 둘 다 다른 사람이 필요하기 때문입니다.
알려진 정보로 두 값 중 하나를 얻기 위해 살펴볼 방정식 제안이있는 사람이 있습니까?
점 A가 원의 중심임을 취급하고 다음 공식을 사용할 수 있습니까? $ V_A = r\omega $ 값을 얻기 위해 $\omega$
답변
계산하다 $\varphi_0 = \arctan(s)$. 그런 다음 포인트의 위치$A$ 이다 \begin{align} &X_A = X_A\\ &Y_A = s\,X_A + b \end{align} 포인트의 위치 $B$ 각도로 표현할 수 있습니다 $\theta$ 같이 \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0) \end{align} 그러나 포인트에 대한 제한이 있습니다. $B$, 홀로 노믹 구성 자라고합니다. $B$ 항상 원을 따라 이동 $(X-c)^2 + Y^2 = r^2$, 그러므로 $(X_B-c)^2 + Y_B^2 = r^2$ 명시 적으로 $$\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2$$ 따라서 바의 위치는 그 지점이 $A$ 항상 줄에 있습니다 $Y = sX + b$ 포인트 $B$ 항상 원 위에 $(X-c)^2 + Y^2 = r^2$ 세 가지 방정식으로 설명 할 수 있습니다. \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2 \end{align} 따라서 방법을 안다면 $X_A = X_A(t)$ 시간에 따른 변화 $t$, 그럼 당신은 그것을 세 번째 방정식에 넣고 풀 수 있습니다. $\theta = \theta(t)$. 찾은 후$\theta$ 당신은 그것을 따라 연결할 수 있습니다 $X_A$ 좌표를 찾기 위해 처음 두 방정식에서 $(X_B, \, Y_B)$ 의 $B$.
각속도를 찾으려면 $\frac{d\theta}{dt}$ 막대의 세 번째 방정식을 $t$ 그리고 네 번째 방정식으로 새로운 미분 방정식을 시스템에 추가합니다. \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big) \left(\,\frac{dX_A}{dt} - l\sin(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) = \, \\ &+ \,\big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big) \left(\,s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) \, = \, 0 \end{align} 찾다 $\frac{d\theta}{dt}$ 마지막 두 방정식 만 필요합니다. \begin{align} &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big) \left(\,l\sin(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt} - \frac{dX_A}{dt}\,\right) \, = \,\big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big) \left(\,s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) \end{align} 주어진 $X_A = X_A(t)$ 과 $V_A = V_A(t) = \frac{dX_A}{dt}$, 두 방정식의 후자 시스템에서 첫 번째 방정식을 취할 수 있습니다. $X_A$ 그것에 대해 해결 $\theta = \theta(t)$. 이 방정식은 풀기가 가장 어렵습니다. 그 후, 두 번째 방정식을 연결하십시오$X_A, \, \theta,\, \frac{dX_A}{dt}$ 각속도를 계산합니다. $\frac{d\theta}{dt}$.
마지막으로 속도를 찾으려면 $B$, 위의 네 방정식 시스템의 처음 두 방정식을 취하고 다음과 관련하여 미분합니다. $t$: \begin{align} &V_{x,B} = \frac{dX_B}{dt} = \frac{dX_A}{dt} - l\sin(\theta + \varphi_0)\frac{d\theta}{dt}\\ &V_{y,B} = \frac{dY_B}{dt} = s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0)\frac{d\theta}{dt} \end{align} 따라서 이미 계산 된이 방정식을 연결하면 $\theta, \,\frac{d\theta}{dt}$ 과 $\frac{dX_A}{dt} = V_A$.
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구 버전. 일을 조금 단순화합시다. 먼저 번역을 수행합니다.\begin{align} &X = \tilde{x} + c \\ &Y = \tilde{y} \end{align}그러면 원의 방정식은 $$ r ^ 2 = (X-c) ^ 2 + Y ^ 2 = \ tilde {x} ^ 2 + \ tilde {y} ^ 2 $$가됩니다. 그런 다음 선 사이의 각도 $ Y = sX + b $ , 새 좌표에서 $ \ tilde {y} = s \, \ tilde {x} + (sc + b) $ , 수평 축 : 기울기는 해당 각도의 접선입니다. $$ \ varphi_0 = \ arctan (s) $$ 다음으로 $ \ varphi_0 $ 각도를 시계 방향으로 회전 하여 $ \ tilde {y} = s \, \ tilde {x} + (sc + b ) $ 는 수평 $ x- $ 축에 평행 한 선 $ \ tilde {y} = h $ ( 원의 중심 (원점)과 해당 선 사이의 거리 $ h $를 계산할 수 있음)이됩니다 .\begin{align} \tilde{x} = \cos(\varphi_0)\, x \, - \, \sin(\varphi_0)\, y\\ \tilde{y} = \sin(\varphi_0)\, x \, + \, \cos(\varphi_0)\, y \end{align}넣어야 $ x_A은 $ $ X- $이 점의 좌표 $ A $ 선을 따라 이동. $ Y- $ 좌표는 $ 시간 $ 고정된다. 이러한 새로운 회전 변환 좌표의 원의 상측 절반의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 $$ Y = \ SQRT {R ^ 2 - X ^ 2} $$
경우 $ \ 세타 $ 로드 사이의 각도이다 $ AB는 $ 및 $ x- $ 축에 평행 한 $ y = h $ 선 , 막대의 다른 쪽 끝 위치 $ B $에 대한 방정식은 다음 과 같습니다.\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = \sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2} \end{align}원에서 $ B $ 의 위치에 대한 두 개의 무료 매개 변수 , 즉 $ x_A $ 및 $ \ theta $가 있습니다. 그러나 또 다른 제한이 있습니다. $ A $ 와 $ B $ 사이의 거리는 항상 $ l $ 입니다. 따라서 : $$ \ big (x_B-x_A \ big) ^ 2 + \ big (y_B-y_A \ big) ^ 2 = l ^ 2 $$ 또는 대체 후 $$ l ^ 2 \ cos ^ 2 (\ theta) \ , + \, \ Big (\ sqrt {r ^ 2-\ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,}-h \ Big) ^ 2 \, = \, l ^ 2 $$ 좌표 $ x_A $ 와 $ \ theta $ 사이에 링크를 설정합니다 . 첫 번째 항을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동 한 다음 오른쪽에 중앙 삼각법 항등을 적용한 다음 양쪽에 제곱근을 취하고 마지막으로 단순화 된 방정식 $$ \ sqrt {r을 얻을 수 있습니다. ^ 2 - \ 큰 (x_A + 1 \, \ COS (\ 세타) \ 큰) ^ 2 \} - 시간 \ = \, \ 오후 \ L \ 죄 (\ 세타) $$ 당신이해야 할 위치 기호 마음 $ \ 오후 $가 오른쪽의 기호에 따라 달라집니다. 사진에서 $ \ theta \ in [0, \ pi / 2) $ , 더하기 기호를 선택할 수 있고 방정식은 $$ \ sqrt {r ^ 2-\ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,}-h \, = \, l \ sin (\ theta) $$
자,이 후자의 방정식에서 $ x_A = x_A (t) $ and $ \ theta = \ theta (t) $은 시간의 함수이다 $의 t $으로 우리에 대한 방정식을 구별 할 수 있도록, $ t $ 후자 식으로 상기 페어링 :\begin{align} &\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2\,} - h \, = \, l\sin(\theta)\\ &\frac{\big(x_A + l\cos(\theta)\big)}{\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2}}\left(l\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} \, - \, \frac{dx_A}{dt}\right) \, = \, l\cos(\theta) \frac{d\theta}{dt} \end{align}제곱근 $ \ sqrt {r ^ 2-\ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2} $를 구하여 첫 번째 방정식을 사용하여 두 번째 방정식을 단순화 할 수 있습니다 . 다음과 같이 시스템 :\begin{align} &\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2\,} - h \, = \, l\sin(\theta)\\ &\frac{\, x_A + l\cos(\theta)\,}{h \, + \, l\sin(\theta)}\left(l\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} \, - \, \frac{dx_A}{dt}\right) \, = \, l\cos(\theta) \frac{d\theta}{dt} \end{align}방정식이 시스템은 다음과 같은 네 가지 특징 : $$ x_A, \, \ 세타, \, \ FRAC {dx_A} {DT}, \, \ FRAC를 {D \ 세타} {DT} $$ 따라서는, 당신은 어떤 두 가지를 제공하는 경우 이 중 시스템을 풀고 나머지 두 개를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 $ A $ 의 위치와 속도 를 안다면 $ x_A $ 및 $ \ frac {dx_A} {dt} $를 알 수 있습니다. 그런 다음 첫 번째 방정식에 $ x_A $ 를 대입하고 $ \ theta $에 대해 동일한 첫 번째 방정식을 풀 수 있습니다. 그런 다음 이미 $ x_A, \, \ theta, \, \ frac {dx_A} {dt} $ 를 알고 있으면이 세 값을 두 번째 방정식에 대입하고 각속도 $ \ frac {d \ theta} { DT} $ . 이 두번째 식에 대해 해결하기 쉽다 $ \ {D FRAC \ 세타 DT {}} $으로 는에 대하여 선형이므로 $ \ {D FRAC \ 세타} {$ DT} .
다음 단계는 원에 접해야하는 $ B $ 의 선형 속도를 찾는 것 입니다. 방정식을 취하면\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = \sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2} \end{align}위에서 논의한 연립 방정식의 첫 번째 방정식으로 $ \ sqrt {r ^ 2-\ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2} = l \ sin (\ theta ) + h $를 입력 하고 후자의 매개 변수화를 다음과 같이 다시 작성합니다.\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = l\sin(\theta) + h \end{align}$ B $ 의 선형 속도를 찾으려면 $ t $에 대해 후자의 매개 변수화를 미분하면됩니다. \begin{align} &\frac{dx_B}{dt} = \frac{dx_A}{dt} - l\, \sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\\ &\frac{dy_B}{dt} = l \, \cos(\theta)\frac{d\theta}{dt} \end{align}
이미 결정된 $ \ frac {dx_A} {dt}, \, \ theta, \, \ frac {d \ theta} {dt} $ 값을 연결 합니다.
솔루션에 매우 가깝습니다. 고려해야 할 점은 곡선 경로에있는 각 점의 속도가 곡선에 접해야한다는 것입니다. 즉, 점 A의 속도와$V_{A|B}$, 점 B에서 접선과 같은 방향을 가져야합니다.
따라서해야 할 일은 다음과 같습니다.
- 점 B에서 곡선 경로에 대한 접선 계산
- 동일한 참조 프레임 (XY 또는 xy)에서 문제의 모든 속도를 표현합니다. 후자의 xy가 바람직합니다.
- 속도 시스템을 해결하십시오 :
예를 들어 xy 시스템을 선택하면 $$\begin{bmatrix} V_{Bx}\\V_{By} \\0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{Ax}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\theta} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} I \cos\theta\\ I\sin\theta\\ 0 \end{bmatrix} $$
이것은 다음과 같이 감소합니다.
$$\begin{bmatrix} V_{Bx}\\V_{By} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{Ax}\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\dot{\theta}I\sin\theta \\ \dot{\theta}I \cos\theta \end{bmatrix} $$
곡선 경로에 대한 접선 방향에 대한 제약 조건을 염두에두면 위의 문제를 해결할 수 있습니다. $\phi$), 즉 $\tan\phi = \frac{V_{By}}{V_{Bx}}$.