감마 및 베타 기능 증명

Aug 19 2020

베타 함수의 적분으로 정의된다$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ 평가함으로써 $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ 두 가지 방법으로 $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

감마 함수와 베타 함수 사이의 관계에 대한 증거가 있지만 처음으로 대체하고 적분을 바꾼 후 함수가 왜 $x^{\alpha+\beta-1}$ 빗질 후 $x^{\alpha-1}$$x^{\beta-1}$ 안돼 $x^{\alpha+\beta-2}$?

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

답변

1 mrtaurho Aug 19 2020 at 04:57

중요한 라인을 더 자세히 살펴 보겠습니다. 대체$y=tx$ 준다 $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ 보시다시피, 우리는 $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ 추가 어디에서 $-1$사라진다. 그게 다야.

ErikCristianSeulean Aug 19 2020 at 04:58

복잡한 적분을하는 것보다 스토리를 사용하여하는 것이 더 쉽다고 생각합니다. 두 개의 감마 분포를 상상 해보세요$X \sim Gamma(a, \lambda)$$Y \sim Gamma(b, \lambda)$.

이 두 가지를 사용하여 관절을 계산하십시오. $f_{T,W}(t,w)$ 배포:

$T = X + Y$$W = \frac{X}{X+Y}$.

이야기로, 같은 비율로 일하는 은행에서 일하는 두 명의 점원을 상상해보십시오. $\lambda$. T는 두 점원을 모두 처리해야하는 사람의 총 대기 시간이고 W는 첫 번째 점원을 기다리는 사람의 비율입니다.

공동 분포에서 이것은 두 개의 독립적 인 분포의 결과라는 것이 분명 할 것입니다. $Beta$. 이것은 또한 훨씬 더 쉽게 기억할 수 있습니다.