가능한 최대 값은 얼마입니까? $E[X_1 X_2 X_3]$?
취하다 $X_1,X_2,X_3$ 공통 확률 공간에 정의 된 이산 랜덤 변수입니다. $\Omega$ 가치를 $\{-1,1\}$. 또한$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. 이것을 감안할 때 가능한 최대 값은 얼마입니까?$E[X_1 X_2 X_3]$?
쉽게 알 수 있습니다. $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ 각각 $i,j \in I_3 (i \neq j)$. 그러나 어떻게 더 발전 할 수 있습니까? 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
허락하다 $a=E[X_1 X_2 X_3]$
물론 우리는 $-1 \le a \le 1$
이 매개 변수화 후에 우리는 결합 확률을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ 추가 제한을 제공합니다 $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ 또는 $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ 과 $0\le \frac18 (1+a) \le 1$
그러나 이것은 최대에 대한 원래 후보에 의해 확인됩니다 ($a=1$)
따라서 최대 값은 $E[X_1 X_2 X_3]=1$ 에 의해 달성되는
$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$
확률을 가진 4 개의 상태가 있다고하자 $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.
조건이 유지되는지 확인할 수 있습니다. 하나,
$$E(X_1X_2X_3)=1,$$
이 표현이 취할 수있는 가장 높은 가치입니다.