그것을 위해 보여주십시오 $a_i>0$ 과 $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [복제]

Dec 14 2020

그것을 위해 보여주십시오 $a_i>0$$n \ge 2$ 다음은 유지됩니다. $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$


나는 오른쪽이 실제로 다음과 같다는 것을 안다. $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ 결과를 쉽게 따라갈 수 있습니다. $n$: 기본 케이스는 true이므로 $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$

관계가 유지된다고 가정합니다. $n$ 관계의 양쪽에 다음을 곱합니다. $(1+a_{n+1})$:

$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$

소유권 주장이 모두에게 적용됨을 보여줍니다. $n \ge 2$.

내가 한 일이 사실이며 더 좋은 방법이 있습니까?

답변

ZAhmed Dec 14 2020 at 19:09

만약 $a_k>0$, 다음 $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ 마찬가지로 반복적으로 수행하여 $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$