그러한 세트 제품군이 존재합니까?

Nov 21 2020

세트 이론에 대한 질문입니다.

가족이 있습니까 $S$ 닫힌 디스크 수 $\mathbb{R^2}$ 각 디스크가 공통점을 최대 한 개만 가질 수 있도록 양의 반경을 가지며 $\mathbb{R^2}- {\cup D}$ 셀 수 있습니다.

이 질문에 어떻게 접근해야할지 모르겠습니다.

이걸 시작하는 방법을 알려주세요

답변

3 bof Nov 21 2020 at 20:51

실제 선이 수많은 닫힌 집합으로 사소하지 않은 분할을 인정하지 않는다는 것은 잘 알려진 정리 (제가 믿는 Sierpiński의)입니다. 이 질문에 대한 내 대답을 참조하십시오 .

이제 평면이 (필수적으로 계산할 수있는) 닫힌 디스크 (양수 반지름) 모음과 분리 된 내부와 셀 수있는 많은 단일 점의 결합이라는 모순에 대해 가정합니다.

허락하다 $L$두 개의 닫힌 디스크가 닿는 셀 수없이 많은 지점을 통과하지 않는 평면의 선입니다. 주어진 각 디스크의 교차점$L$닫힌 간격 또는 단일 지점입니다. 그러므로$L$ 위에서 언급 한 정리와 모순되는 닫힌 간격과 싱글 톤의 셀 수있는 분리 된 모음의 합집합입니다.

말. 만약$S$ 내부가 분리되어있는 양의 반경의 폐쇄 디스크 제품군입니다. $\mathbb R^2$, 다음 $\mathbb R^2\setminus\bigcup S$ 셀 수 없다 $G_\delta$ 설정되므로 카디널리티가 있습니다. $2^{\aleph_0}$.