그리피스와 해리스의 베르 티니 정리의 진술과 증명 이해

Question

나는 Griffiths & Harris 책에서 Bertini의 정리의 진술과 증명을 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다.$137$). 솔직히 스택에서 여러 개의 답변을 읽은 후에도 단어를 이해하지 못합니다. 정리는

선형 시스템의 일반 요소는 시스템의 기본 궤적에서 부드럽게 떨어져 있습니다.

첫 번째 질문 입니다. 위의 설명이 제수와 관련된 라인 번들이 아니라 일반 라인 번들의 선형을 참조합니까?

내가 말할 수있는 한, 그것은 제수와 관련된 라인 번들의 선형 시스템을 나타냅니다. 내가 틀렸다면 말해줘.

두 번째 질문 입니다. 일반 요소는 무엇입니까? 아니면 일반 연필은 무엇입니까?

증명에서 저자는 " 선형 시스템의 일반 요소가 시스템의 기본 궤적에서 멀어지면 시스템에 포함 된 일반 연필에 대해서도 마찬가지입니다. 따라서 Bertini를 ​​증명하는 것으로 충분합니다. 연필. "

세 번째 질문 입니다. 위 문장이 정확히 무엇을 의미합니까?

이제 가정 $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ 연필이다

네 번째 질문 입니다. 저자가 쓰는 이유$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? 무엇을$f,g$ 여기를 의미합니까?

마지막 질문은 다양성의 정도와 관련이 있습니다 (p.$171$).

부드러운 궤적에 적용된 Bertini $V$ 일반 $(n-k)$-비행기 $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ 교차합니다 $V$ 가로로 만날 것입니다 $V$ 정확히 $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ 포인트들.

마지막 질문 입니다. 제네릭이란?$(n-k)$-비행기? 이 경우 왜 교차합니까?$V$ 가로?

Answer 1

1. 설정 (복잡한 매니 폴드)에서 모든 라인 번들은 제수에서 나오며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

2. 선형 시스템의 일반적인 요소는 $\mathbb P^r$ 선형 시스템의 멤버를 매개 변수화하여 $\mathbb P^r$. 일반 요소는 밀도가 높은 열린 지점에 의해 매개 변수화 된 요소입니다. Grassmannian의 밀도가 높은 열린 지점으로 유사하게 매개 변수화 된 일반 연필$G(2,r+1)$ 의 $2$의 차원 부분 공간 $H^0(L)$ (어디 $L$ 라인 번들입니다).

3. 이 문장은 어떤 "나쁜"행동이 연필에서 일어날 것이라고 말하고 있기 때문에 우리는 더 높은 차원의 선형 시스템에 대해 걱정할 필요가 없습니다.

4. 그들은 의미 $f,g \in H^0(L)$, 따라서 $f$ 과 $g$ 연필을 산출합니다.

5. 일반 평면은 적절한 Grassmannian의 조밀 한 개방 하위 집합에 의해 매개 변수화됩니다. 횡단 성은 열린 상태이기 때문입니다.