그룹 과다 상동성에 대한이 공 경계 동형의 의미는 무엇입니까?

Question

$\require{AMScd}$ 허락하다 $\Gamma=\{1,\gamma\}$ 질서 2의 그룹이 되십시오. Galois의 실제 환원 그룹의 cohomology 문제에서 저는 다음의 교환 다이어그램에 도달했습니다. $\Gamma$-모듈 (벨리 안 그룹 $\Gamma$-action) \ begin {equation *} % \ label {e : cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {equation *} 여기서 행은 정확하지만 열은 아닙니다 (및$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). 다이어그램의 맨 위 및 맨 아래 행은 정식으로 분할됩니다.$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ 이러한 분할은 호환됩니다. $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ ...에 대한 $q_3\in Q_3$. Tate hypercohomology 그룹을 고려합니다.$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ 두 짧은 콤플렉스가 모두도 단위 인 경우 $(-1,0)$.

아래에서는 "수동으로"표준 공 경계 동형을 구성합니다. $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

질문. 일종의 일반 이론에서이 공 경계 동형을 어떻게 얻을 수 있습니까?

말. 단체 용$\Gamma$차수 2 (또한 모든 순환 그룹에 대해$\Gamma$) Tate cohomology와 hypercohomology는 기간 2에서 주기적입니다. $\delta$ 지도입니다 $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ 두 콤플렉스가 모두 각도 인 경우 $(-2,-1,0)$.

구성. 우리는$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. 여기$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$즉, \ begin {equation} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ tag {$**$} \ end {equation} 정식으로 리프트 $ q_3$ ...에 $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ 그리고 우리는 들어 올립니다 $ x_3$에 일부 $ x_2\in X _2$. 우리는 쓴다$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ 어디 $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ 과 $ p_1\in P_1$. 우리는 설정$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ 이후 $(*)$ 우리는 $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ 우리는 그것을 본다 $ x_1\in X _1$. 우리는 다음을 계산합니다.$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ 으로 $(**)$. 더욱이,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} 으로 $(*)$ 과 $(**)$. 그러므로$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ 우리는 그것을 본다 $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. 우리는 설정$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ 간단한 확인은지도가 $\delta$ 잘 정의 된 동형입니다.

Answer 1

나는 이것을 처리하는 가장 쉬운 방법이 삼각 분류의 형식주의라고 믿는다. 다양한 방법으로 수행 할 수 있습니다. 제한되지 않은 파생 범주로 작업하거나 (아마 더 쉽게) 각 모듈을 교체합니다.$M$ 와 $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ 어디 $\mathcal R$ 에 대한 완전한 해결책입니다. $\Gamma$, 즉 표준 무제한 2-주기 복합 $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$의 $\Gamma$-모듈.

그럼 $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ 임의의 삼각 분할 범주에있는 정확한 삼각형이고 $Q_3\to X_2\to P_1$합성물이없는 임의의 형태입니다. 허락하다$P$ 섬유질이다 $X_1\to P_1$ 그리고하자 $Q$ 동조하다 $Q_3\to X_3$. 우리의 목표는 모든 표준 지도 를 구성하는 것입니다.$Q\to\Sigma P$. 더 나아가 동형 인지도는 다음과 같은 경우에만 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.$Q_3\to X_2\to P_1$ 정확합니다.

합성 이후 $Q_3\to X_2\to P_1$ 0,지도 $X_2\to P_1$ cofiber를 통해 요인 $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$및지도 $Q_3\to X_2$ 섬유를 통한 요인 $P_0\to X_2$ 의 $X_2\to P_1$. 따라서 모두$X_1\to P_1$ 복합물에 대한 요인 $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, 동안 $Q_3\to X_3$ 복합물에 대한 요인 $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

먼저 이러한 상황에서 cofiber는 $Q_3\to P_0$ 섬유와 동형 $Q_0\to P_1$; 그것을 표시$H$, 복합 $P_0\to H\to Q_0$ 합성물이다 $P_0\to X_2\to Q_0$.

팔면체 공리의 8 개 사례를 얻었습니다. 다양한 합성물에 대해 $f\circ g$ 정확한 삼각형이 있습니다 $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ 과 $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. 엄밀히 말해서 모든 것이 필요한 것은 아니지만 완전성을 위해 모두 나열하겠습니다.

구성 가능한 쌍	정확한 삼각형을 제공합니다
$Q_3\to P_0\to X_2$	$H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$	$X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$	$P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$	$Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$	$P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$	$Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

모든 것을 하나의 다이어그램에 넣으려면-다음에서 세 개의 개체가있는 선은 정확한 삼각형을 나타냅니다. 모든 것이 통근합니다.