근사화의 중요성 $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $
브라운 운동의 극소 한 생성기가 다음과 같다는 것을 보여주기 위해 $\frac{1}{2}\Delta$,이 대답 에서 그는 먼저 방정식을 씁니다.$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ 그런 다음 그는 다음과 같은 근사치를 유도합니다. $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ 그런 다음 "(1)에서 우리는 $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ 열 방정식의 (고유 한) 해입니다. "
여기 에서 논의한 바와 같이 , 우리는 단순히 근사값을 열 방정식으로 대체 할 수 없습니다. 그렇다면,
- 해당 게시물의 작성자가이 근사치를 만든 이유는 무엇입니까? 그는 증명을 위해이 근사치를 어떻게 사용 했습니까? 그가 그것을 사용하지 않았다면
- 누구든지 그의 주장을 더 설명 할 수 있습니까? "(1)에서 우리는 $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ 열 방정식의 (고유 한) 해결책은 ... "?
답변
어떻게 든 근사가 열 방정식에 대한 솔루션을 구성하는 데 도움이된다고 생각하기 때문에 혼란이 발생할 수 있습니다. 어떤 일이 일어나고 있는지는 편미분 방정식 (PDE)에 대한 해로 시작 하고 근사값은이 PDE를 열 방정식으로 식별하는 역할을합니다. 링크 한 게시물에 증거가 제공되지 않았습니다. 그들은 직관을 발전시키는 데 도움이되는 공식적인 주장 일뿐입니다.
두 번째 질문부터 시작하십시오. 방정식 (1)은$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$에 의해 정의 ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ 환경 $u(t,x) = P_t f(x)$ 방정식 (1)에서 우리는 $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ 여기, $A$ 미분 연산자이므로 $u(t,x)$일부 초기 조건으로 일부 미분 방정식을 풉니 다. 어떤 미분 방정식입니까?
어떤 미분 방정식 인지 추측 하려면 근사$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$사용. 이것을 ($\spadesuit$), 당신은 $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ 이 관계를 바탕으로 무엇을 추측 할 수 있습니까? $A$ 입니까?