기본 솔루션 $y_1,y_2$, 하나만 존재합니다. $y_1$ 연속 된 0 사이 $y_2$.

Question

한다고 가정 $y_1$ 과 $y_2$ 선형 2 차 ODE의 기본 솔루션 세트입니다. $y''+p(t)y'+q(t)y=0$, 간격에 $-\infty < t < \infty$. 하나의 0 만 있음을 보여줍니다.$y_1$ 연속 된 0 사이 $y_2$. 힌트 : 수량 구분$y_2/y_1$ Rolle의 정리를 사용합니다.

이 질문에 대한 기존 답변 이 밝혀지지 않았습니다.

내가 얼마나 멀리 왔는지.

말하다, $a$ 과 $b$ 연속 0입니다 $y_2$. 이것은 의미합니다$\frac{y_2(a)}{y_1(a)} = \frac{y_2(b)}{y_1(b)}= 0$. Rolle의 정리는 이제$c \in (a,b)$ 그런 $\frac{\mathrm d y_2/y_1}{\mathrm{dt}}|_{t=c} = \frac{W[y_1,y_2](c)}{y_1^2(c)}=0$. 0 인 Wronskian은 다음과 모순됩니다.$y_1$ 과 $y_2$기본적인 솔루션 세트입니다. 그 후,$\frac{W[y_1,y_2](t)}{y_1^2(t)}$ 모두 0이 아니다 $t\in (-\infty,\infty)$. 게다가 Rolle의 정리를 사용하여 만든 가정은 올바르지 않습니다.

즉, $y_2(t)/y_1(t)$ 연속적이지 않기 때문에 일부 지점에서 간격을 미분 할 수 없습니다. $(a,b)$. 이것은 denumerator$y_1(t)$ 이 간격에서 0이 있습니다.

내 주장이 맞습니까? 그리고이 0이$y_1$ 독특합니까?

문맥 : 이것은 브라운의 미분 방정식과 그 응용, 4 판의 질문 2.1.18입니다.

Answer 1

허락하다 $a$ 과 $b$ ($a<b$) 두 개의 연속적인 0 $y_2$; 즉$$ y_2(a)=y_2(b)=0. \tag1$$ 이후 $W(t)\neq0$, 우리는 가질 수 있습니다 $y_1(a)\neq0,y_1(b)\neq0$. 한다고 가정$y_1$ 0이 없습니다 $(a,b)$. 이후$W[y_1,y_2](t)\neq0$ ...에 대한 $t\in[a,b]$, 우리는 가정 할 수 있습니다 $W[y_1,y_2](t)>0$ 따라서 우리는 $$ \frac{\mathrm d (y_2/y_1)}{\mathrm{dt}} = \frac{W[y_1,y_2](t)}{y_1^2}>0. $$ 즉 $y_2/y_1$ 엄격하게 증가하고 있으므로 $$ \frac{y_2(a)}{y_1(a)}<\frac{y_2(b)}{y_1(b)}. \tag2$$ (2)의 (1)을 사용하여 $0<0$터무니없는 일입니다. 그러므로$y_1$ 제로가있다 $(a,b)$. 제로의 고유성을 증명할 수 있습니다.$y_1$.