기호로 유클리드 공간을 공식적으로 기록하려면 어떻게해야합니까?
공백은 정렬 된 튜플입니다. 여기서 첫 번째 요소는 집합이고 다음 요소는 추가 된 구조를 설명합니다. $(X, m)$ 메트릭 공간의 경우 $(X, \tau)$위상 공간을 위해. 유클리드 공간의 다음 요소는 무엇입니까?
내가 이해하는 한 우리는
- $X=\mathbb R^n$ 모든 n- 튜플의 실수 집합입니다 ( $n\in\mathbb N$)
- 우리는 요소가 필요합니다 $X$ 벡터가 되려면-스칼라 곱셈과 선형 적으로 결합 할 수 있습니다. $\times$, 필드 $F$ 및 추가 $+$.
- 내적 $\cdot$ 요소 사이 $X$.
- 요소에 대한 규범 $X$. 이것이 본질적으로 내적에 포함되어 있습니까? 아니면 정확하기 위해 명시 적으로 설명해야합니까? 추가 "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf 이것은 또한 "$+$".
- 완전성 $X$ (이것은 본질적으로 $X=\mathbb R^n$?)
- 메트릭 (나는 이것이 또한 본질적으로 규범과 요소가 $X$ 벡터가 맞죠?)
내가 추론 한 것으로부터 유클리드 공간은 $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. 아마도 "$-$".
그래서 : 기호로 유클리드 공간을 공식적으로 어떻게 기록합니까?
답변
질문에 이미 유클리드 공간을 적어 두 셨습니다. $\mathbb{R}$.
내가 생각할 수있는 유일한 것은 당신의 측정 항목입니다. 말하다$(\mathbb{R},d)$ 미터법 공간이고 두 점의 거리 인 d를 정의합니다.
메트릭에 대해 기억해야 할 몇 가지 공리가 있습니다.
$d(x,x)=0$
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (삼각형 부등식이라고합니다. 직각 삼각형을 생각하면 가야 할 곳으로 가기 위해 대각선으로 걸어갑니다)
다음과 같은 공간에 대해 정의 할 수있는 많은 메트릭이 있습니다. $\mathbb{R^2}$, 실제 비행기; 가장 흔한 존재$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
편집하다:
내가 생각하는 몇 가지 토폴로지를 배워야합니다. 데카르트 곱은 제품 공간이라는보다 일반적인 개념의 한 예일뿐입니다. 토폴로지에서는 연속성과 개방형 집합에 대해 논의합니다 (모두 동일하게 정의되지는 않음). 말하다$X,Y$ 위상 공간과 세트, $U_{X_i}$ 과 $V_{Y_i}$ 각각의 토폴로지에서 열려 있습니다.
제품 공간 에서 토폴로지를 정의합니다. $X\,\,x\,\, V$다른 두 공간의 토폴로지를 "상속"한다고 말하면됩니다. 하위 집합$X\,\,x\,\, V$ 경우에만 열려 있습니다 $U\subset X$ 과 $V\subset Y$둘 다 열려 있습니다. 이것은 우리의 표준 메트릭 공간에 똑같은 방식으로 적용되지만, 대신 제품 공간은 메트릭을 상속합니다. 이는 "개방"이 무엇인지에 대한 아이디어를 제공하는 것으로 생각할 수 있습니다.